We propose an $S$-version of Nakayama's lemma. Let $R$ be a commutative ring, $S$ a multiplicative subset of $R,$ and $M$ be an $S$-finite $R$-module. Also let $I$ be an ideal of $R.$ We show that if there exists $t\in S$ such that $tM\subseteq IM,$ then$(t^\prime+a)M=0$ for some $t'\in S$ and $a\in I.$ We also give an analog of Nakayama's lemma for a $w$-ideal and an $S$-$w$-finite $R$-module, where $R$ is an integral domain. Thus, we generalize the result obtained by Wang and McCasland [Commun. Algebra, 25, 1285–1306 (1997)].

中文翻译：

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S-Nakayama 引理的注解

我们提出了 Nakayama 引理的 $S$ 版本。令 $R$ 是一个交换环，$S$ 是 $R,$ 的乘法子集，$M$ 是一个 $S$-finite $R$-module。也让 $I$ 是 $R.$ 的理想。我们证明如果存在 $t\in S$ 使得 $tM\subseteq IM,$ then$(t^\prime+a)M=0$ 对于某些$t'\in S$ 和 $a\in I.$ 我们还给出了 $w$-ideal 和 $S$-$w$-finite $R$-module 的 Nakayama 引理的模拟，其中 $R $ 是一个完整的域。因此，我们概括了 Wang 和 McCasland [Commun. 代数, 25, 1285–1306 (1997)]。