This paper considers inhomogeneous Erdős–Rényi random graphs [Formula: see text] on [Formula: see text] vertices in the non-sparse non-dense regime. The edge between the pair of vertices [Formula: see text] is retained with probability [Formula: see text], [Formula: see text], independently of other edges, where [Formula: see text] is a continuous function such that [Formula: see text] for all [Formula: see text]. We study the empirical distribution of both the adjacency matrix [Formula: see text] and the Laplacian matrix [Formula: see text] associated with [Formula: see text], in the limit as [Formula: see text] when [Formula: see text] and [Formula: see text]. In particular, we show that the empirical spectral distributions of [Formula: see text] and [Formula: see text], after appropriate scaling and centering, converge to deterministic limits weakly in probability. For the special case where [Formula: see text] with [Formula: see text] a continuous function, we give an explicit characterization of the limiting distributions. Furthermore, we apply our results to constrained random graphs, Chung–Lu random graphs and social networks.

中文翻译：

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非齐次 Erdős–Rényi 随机图的邻接谱和拉普拉斯矩阵

本文考虑非稀疏非稠密状态下[公式：见文本]顶点上的非齐次 Erdős–Rényi 随机图 [公式：见文本]。顶点对[公式：见文本]之间的边以概率[公式：见文本]、[公式：见文本]保留，独立于其他边，其中[公式：见文本]是一个连续函数，使得[公式：见正文]所有[公式：见正文]。我们研究了邻接矩阵[公式：见文本]和与[公式：见文本]相关的拉普拉斯矩阵[公式：见文本]的经验分布，在[公式：见文本]时的极限为[公式：见文本]文本]和[公式：见文本]。特别是，我们展示了[公式：见文本]和[公式：见文本]的经验光谱分布，经过适当的缩放和居中，在概率上弱收敛到确定性极限。对于 [Formula: see text] 和 [Formula: see text] 连续函数的特殊情况，我们给出了限制分布的明确表征。此外，我们将我们的结果应用于约束随机图、Chung-Lu 随机图和社交网络。