We consider products of independent [Formula: see text] non-Hermitian random matrices [Formula: see text]. Assume that their entries, [Formula: see text], are independent identically distributed random variables with zero mean, unit variance. Götze and Tikhomirov [On the asymptotic spectrum of products of independent random matrices, preprint (2010), arXiv:1012.2710] and O’Rourke and Sochnikov [Products of independent non-Hermitian random matrices, Electron. J. Probab. 16 (2011) 2219–2245] proved that under these assumptions the empirical spectral distribution (ESD) of [Formula: see text] converges to the limiting distribution which coincides with the distribution of the [Formula: see text]th power of random variable uniformly distributed in the unit circle. In this paper, we provide a local version of this result. More precisely, assuming additionally that [Formula: see text] for some [Formula: see text], we prove that ESD of [Formula: see text] converges to the limiting distribution on the optimal scale up to [Formula: see text] (up to some logarithmic factor). Our results generalize the recent results of Bourgade et al. [Local circular law for random matrices, Probab. Theory Related Fields 159 (2014) 545–595], Tao and Vu [Random matrices: Universality of local spectral statistics of non-Hermitian matrices, Ann. Probab. 43 (2015) 782–874] and Nemish [Local law for the product of independent non-hermitian random matrices with independent entries, Electron. J. Probab. 22 (2017) 1–35]. We also give further development of Stein’s type approach to estimate the Stieltjes transform of ESD.

中文翻译：

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非厄米随机矩阵及其乘积的当地法律

我们考虑独立 [公式：见文本] 非厄米随机矩阵 [公式：见文本] 的乘积。假设它们的条目 [公式：见正文] 是独立的同分布随机变量，均值为零，单位方差。Götze 和 Tikhomirov [关于独立随机矩阵乘积的渐近谱，预印本 (2010)，arXiv:1012.2710] 和 O'Rourke 和 Sochnikov [独立非厄米随机矩阵乘积，电子。J.普罗巴布。16 (2011) 2219–2245] 证明，在这些假设下，[公式：见文本]的经验光谱分布 (ESD) 收敛到与随机变量的 [公式：见文本] 次方分布一致的极限分布均匀分布在单位圆内。在本文中，我们提供了该结果的本地版本。更确切地说，另外假设 [公式：参见文本] 对于某些 [公式：参见文本]，我们证明 [公式：参见文本] 的 ESD 在直到 [公式：参见文本] 的最优尺度上收敛到极限分布（最多对数因子）。我们的结果概括了 Bourgade 等人最近的结果。[随机矩阵的局部循环定律，Probab。理论相关领域 159 (2014) 545–595]，Tao 和 Vu [随机矩阵：非厄米矩阵局部谱统计的普遍性，安。概率。43 (2015) 782–874] 和 Nemish [具有独立条目的独立非厄米随机矩阵的乘积的本地法则，电子。J.普罗巴布。22 (2017) 1-35]。我们还进一步发展了 Stein 的类型方法来估计 ESD 的 Stieltjes 变换。见文本] 收敛到最佳比例的极限分布，直到 [公式：见文本]（达到某个对数因子）。我们的结果概括了 Bourgade 等人最近的结果。[随机矩阵的局部循环定律，Probab。理论相关领域 159 (2014) 545–595]，Tao 和 Vu [随机矩阵：非厄米矩阵局部谱统计的普遍性，安。概率。43 (2015) 782–874] 和 Nemish [具有独立条目的独立非厄米随机矩阵的乘积的本地法则，电子。J.普罗巴布。22 (2017) 1-35]。我们还进一步发展了 Stein 的类型方法来估计 ESD 的 Stieltjes 变换。见文本] 收敛到最佳比例的极限分布，直到 [公式：见文本]（达到某个对数因子）。我们的结果概括了 Bourgade 等人最近的结果。[随机矩阵的局部循环定律，Probab。理论相关领域 159 (2014) 545–595]，Tao 和 Vu [随机矩阵：非厄米矩阵局部谱统计的普遍性，安。概率。43 (2015) 782–874] 和 Nemish [具有独立条目的独立非厄米随机矩阵的乘积的本地法则，电子。J.普罗巴布。22 (2017) 1-35]。我们还进一步发展了 Stein 的类型方法来估计 ESD 的 Stieltjes 变换。[随机矩阵的局部循环定律，Probab。理论相关领域 159 (2014) 545–595]，Tao 和 Vu [随机矩阵：非厄米矩阵局部谱统计的普遍性，安。概率。43 (2015) 782–874] 和 Nemish [具有独立条目的独立非厄米随机矩阵的乘积的本地法则，电子。J.普罗巴布。22 (2017) 1-35]。我们还进一步发展了 Stein 的类型方法来估计 ESD 的 Stieltjes 变换。[随机矩阵的局部循环定律，Probab。理论相关领域 159 (2014) 545–595]，Tao 和 Vu [随机矩阵：非厄米矩阵局部谱统计的普遍性，安。概率。43 (2015) 782–874] 和 Nemish [具有独立条目的独立非厄米随机矩阵的乘积的本地法则，电子。J.普罗巴布。22 (2017) 1-35]。我们还进一步发展了 Stein 的类型方法来估计 ESD 的 Stieltjes 变换。