We analyze general uncertainty relations and we show that there can exist such pairs of non-commuting observables [Formula: see text] and [Formula: see text] and such vectors that the lower bound for the product of standard deviations [Formula: see text] and [Formula: see text] calculated for these vectors is zero: [Formula: see text]. We also show that for some pairs of non-commuting observables the sets of vectors for which [Formula: see text] can be complete (total). The Heisenberg, [Formula: see text], and Mandelstam–Tamm (MT), [Formula: see text], time–energy uncertainty relations ([Formula: see text] is the characteristic time for the observable [Formula: see text]) are analyzed too. We show that the interpretation [Formula: see text] for eigenvectors of a Hamiltonian [Formula: see text] does not follow from the rigorous analysis of MT relation. We show also that contrary to the position–momentum uncertainty relation, the validity of the MT relation is limited: It does not hold on complete sets of eigenvectors of [Formula: see text] and [Formula: see text].

中文翻译：

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关于不确定性关系的备注

我们分析了一般的不确定性关系，我们表明可以存在这样的非对易可观察量对 [公式：见文本] 和 [公式：见文本] 以及这样的向量，标准差乘积的下界 [公式：见文本] 和 [Formula: see text] 为这些向量计算的结果为零：[Formula: see text]。我们还表明，对于某些非对易可观察对象，[公式：参见文本]可以是完整的（总）向量集。海森堡，[公式：见文]和曼德尔斯塔姆-塔姆（MT），[公式：见文]，时间-能量不确定性关系（[公式：见文]是可观测的特征时间[公式：见文] ) 也进行了分析。我们证明了哈密顿量[公式：见文本]的特征向量的解释[公式：见正文] 并非从严格分析 MT 关系得出。我们还表明，与位置-动量不确定性关系相反，MT 关系的有效性是有限的：它不适用于 [公式：见文本] 和 [公式：见文本] 的完整特征向量集。