We consider the parameter space 𝒰d of smooth plane curves of degree d. The universal smooth plane curve of degree d is a fiber bundle ℰd →𝒰d with fiber diffeomorphic to a surface Σg. This bundle gives rise to a monodromy homomorphism ρd : π1(𝒰d) →Mod(Σg), where Mod(Σg) := π0(Diff+(Σ g)) is the mapping class group of Σg. The main result of this paper is that the kernel of ρ4 : π1(𝒰4) →Mod(Σ3) is isomorphic to F∞× ℤ/3ℤ, where F∞ is a free group of countably infinite rank. In the process of proving this theorem, we show that the complement Teich(Σg)∖ℋg of the hyperelliptic locus ℋg in Teichmüller space Teich(Σg) has the homotopy type of an infinite wedge of spheres. As a corollary, we obtain that the moduli space of plane quartic curves is aspherical. The proofs use results from the Weil–Petersson geometry of Teichmüller space together with results from algebraic geometry.

中文翻译：

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d 次平滑平面曲线全族单调的核

我们考虑参数空间𝒰d度数的平滑平面曲线d. 度数的通用平滑平面曲线d是一个纤维束ℰd →𝒰d具有与表面微分同胚的纤维ΣG. 这个丛产生单调同态ρd ： π1(𝒰d) →模组(ΣG)， 在哪里模组(ΣG) ：= π0(差异+(Σ G))是的映射类组ΣG. 本文的主要结果是内核ρ4 ： π1(𝒰4) →模组(Σ3)同构于F∞× ℤ/3ℤ， 在哪里F∞是一个可数无限秩的自由群。在证明这个定理的过程中，我们证明了补泰克(ΣG)∖ℋG超椭圆轨迹的ℋG在泰克米勒空间泰克(ΣG)具有无限楔形球体的同伦类型。作为推论，我们得到平面四次曲线的模空间是非球面的。证明使用了 Teichmüller 空间的 Weil-Petersson 几何的结果以及代数几何的结果。