Answering one of the main questions of [S.-D. Friedman, T. Hyttinen and V. Kulikov, Generalized descriptive set theory and classification theory, Mem. Amer. Math. Soc. 230(1081) (2014) 80, Chap. 7], we show that there is a tight connection between the depth of a classifiable shallow theory [Formula: see text] and the Borel rank of the isomorphism relation [Formula: see text] on its models of size [Formula: see text], for [Formula: see text] any cardinal satisfying [Formula: see text]. This is achieved by establishing a link between said rank and the [Formula: see text]-Scott height of the [Formula: see text]-sized models of [Formula: see text], and yields to the following descriptive set-theoretical analog of Shelah’s Main Gap Theorem: Given a countable complete first-order theory [Formula: see text], either [Formula: see text] is Borel with a countable Borel rank (i.e. very simple, given that the length of the relevant Borel hierarchy is [Formula: see text]), or it is not Borel at all. The dividing line between the two situations is the same as in Shelah’s theorem, namely that of classifiable shallow theories. We also provide a Borel reducibility version of the above theorem, discuss some limitations to the possible (Borel) complexities of [Formula: see text], and provide a characterization of categoricity of [Formula: see text] in terms of the descriptive set-theoretical complexity of [Formula: see text].

中文翻译：

---

一个描述性的主间隙定理

回答 [S.-D. 的主要问题之一。Friedman、T. Hyttinen 和 V. Kulikov，广义描述集理论和分类理论，Mem。阿米尔。数学。社会党。230(1081) (2014) 80, 章节。7]，我们证明了可分类浅层理论的深度 [公式：见文本] 与同构关系 [公式：见文本] 在其大小模型上的 Borel 秩 [公式：见文本] , 对于 [公式：参见文本] 任何满足 [公式：参见文本] 的基数。这是通过在所述等级和[公式：参见文本]-Scott 高度 [公式：参见文本] 大小的 [公式：参见文本] 模型之间建立联系来实现的，并产生以下描述性集合理论模拟Shelah 的主要间隙定理的：给定一个可数完整的一阶理论 [公式：见正文]，要么 [公式：see text] 是具有可数 Borel 秩的 Borel（即非常简单，假设相关 Borel 层次结构的长度为 [Formula: see text]），或者根本不是 Borel。这两种情况的分界线与Shelah定理中的分界线相同，即可分类的浅层理论。我们还提供了上述定理的 Borel 可约化版本，讨论了 [Formula: see text] 可能的 (Borel) 复杂性的一些限制，并根据描述性集合提供了 [Formula: see text] 的分类特征 - [公式：见正文]的理论复杂性。即可分类的浅层理论。我们还提供了上述定理的 Borel 可约化版本，讨论了 [Formula: see text] 可能的 (Borel) 复杂性的一些限制，并根据描述性集合提供了 [Formula: see text] 的分类特征 - [公式：见正文]的理论复杂性。即可分类的浅层理论。我们还提供了上述定理的 Borel 可约化版本，讨论了 [Formula: see text] 可能的 (Borel) 复杂性的一些限制，并根据描述性集合提供了 [Formula: see text] 的分类特征 - [公式：见正文]的理论复杂性。