We study the sets that are computable from both halves of some (Martin–Löf) random sequence, which we call [Formula: see text]-bases. We show that the collection of such sets forms an ideal in the Turing degrees that is generated by its c.e. elements. It is a proper subideal of the [Formula: see text]-trivial sets. We characterize [Formula: see text]-bases as the sets computable from both halves of Chaitin’s [Formula: see text], and as the sets that obey the cost function [Formula: see text].Generalizing these results yields a dense hierarchy of subideals in the [Formula: see text]-trivial degrees: For [Formula: see text], let [Formula: see text] be the collection of sets that are below any [Formula: see text] out of [Formula: see text] columns of some random sequence. As before, this is an ideal generated by its c.e. elements and the random sequence in the definition can always be taken to be [Formula: see text]. Furthermore, the corresponding cost function characterization reveals that [Formula: see text] is independent of the particular representation of the rational [Formula: see text], and that [Formula: see text] is properly contained in [Formula: see text] for rational numbers [Formula: see text]. These results are proved using a generalization of the Loomis–Whitney inequality, which bounds the measure of an open set in terms of the measures of its projections. The generality allows us to analyze arbitrary families of orthogonal projections. As it turns out, these do not give us new subideals of the [Formula: see text]-trivial sets; we can calculate from the family which [Formula: see text] it characterizes.We finish by studying the union of [Formula: see text] for [Formula: see text]; we prove that this ideal consists of the sets that are robustly computable from some random sequence. This class was previously studied by Hirschfeldt [D. R. Hirschfeldt, C. G. Jockusch, R. Kuyper and P. E. Schupp, Coarse reducibility and algorithmic randomness, J. Symbolic Logic 81(3) (2016) 1028–1046], who showed that it is a proper subclass of the [Formula: see text]-trivial sets. We prove that all such sets are robustly computable from [Formula: see text], and that they form a proper subideal of the sets computable from every (weakly) LR-hard random sequence. We also show that the ideal cannot be characterized by a cost function, giving the first such example of a [Formula: see text] subideal of the [Formula: see text]-trivial sets.

中文翻译：

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从随机点的投影计算

我们研究可从一些（Martin-Löf）随机序列的两半计算的集合，我们称之为[公式：见文本]-bases。我们表明，这些集合的集合形成了由其 ce 元素生成的图灵度的理想。它是[公式：见正文]-平凡集的一个真子理想。我们将 [Formula: see text]-bases 描述为可从 Chaitin 的 [Formula: see text] 的两半计算的集合，以及服从成本函数 [Formula: see text] 的集合。对这些结果进行概括会产生一个密集的层次结构[公式：见文本]-平凡度中的子理想：对于 [公式：见文本]，令 [公式：见文本] 是 [公式：见文本] 中低于任何 [公式：见文本] 的集合的集合] 一些随机序列的列。和以前一样，这是由它的 ce 产生的一个理想 定义中的元素和随机序列总是可以被认为是[公式：见文本]。此外，相应的成本函数表征表明[公式：见文本]独立于有理[公式：见文本]的特定表示，并且[公式：见文本]正确包含在[公式：见文本]中有理数[公式：见正文]。使用 Loomis-Whitney 不等式的推广证明了这些结果，该不等式根据其投影的测度来限制开集的测度。通用性允许我们分析任意的正交投影族。事实证明，这些并没有给我们[公式：见文本]-平凡集的新子理想；我们可以从它所表征的[公式：见正文]的族中计算出来。我们通过研究[公式：[公式：见文本]；见文本]；我们证明了这个理想包含可以从一些随机序列中稳健计算的集合。此类之前由 Hirschfeldt [DR Hirschfeldt, CG Jockusch, R. Kuyper 和 PE Schupp, Coarse reducibility and algorithmic randomness, J. Symbolic Logic 81(3) (2016) 1028–1046] 研究过，他们表明这是一个适当的[公式：见正文]-平凡集合的子类。我们证明了所有这些集合都可以从 [公式：见文本] 中稳健地计算，并且它们形成了可从每个（弱）LR-hard 随机序列计算的集合的适当子理想。我们还展示了理想不能用成本函数来表征，给出了[公式：见文本]-平凡集的[公式：见文本]子理想的第一个这样的例子。我们证明了这个理想包含可以从一些随机序列中稳健计算的集合。此类之前由 Hirschfeldt [DR Hirschfeldt, CG Jockusch, R. Kuyper 和 PE Schupp, Coarse reducibility and algorithmic randomness, J. Symbolic Logic 81(3) (2016) 1028–1046] 研究过，他们表明这是一个适当的[公式：见正文]-平凡集合的子类。我们证明了所有这些集合都可以从 [公式：见文本] 中稳健地计算，并且它们形成了可从每个（弱）LR-hard 随机序列计算的集合的适当子理想。我们还展示了理想不能用成本函数来表征，给出了[公式：见文本]-平凡集的[公式：见文本]子理想的第一个这样的例子。我们证明了这个理想包含可以从一些随机序列中稳健计算的集合。此类之前由 Hirschfeldt [DR Hirschfeldt, CG Jockusch, R. Kuyper 和 PE Schupp, Coarse reducibility and algorithmic randomness, J. Symbolic Logic 81(3) (2016) 1028–1046] 研究过，他们表明这是一个适当的[公式：见正文]-平凡集合的子类。我们证明了所有这些集合都可以从 [公式：见文本] 中稳健地计算，并且它们形成了可从每个（弱）LR-hard 随机序列计算的集合的适当子理想。我们还展示了理想不能用成本函数来表征，给出了[公式：见文本]-平凡集的[公式：见文本]子理想的第一个这样的例子。Hirschfeldt, CG Jockusch, R. Kuyper 和 PE Schupp, Coarse reducibility and algorithmic randomness, J. Symbolic Logic 81(3) (2016) 1028–1046]，他们表明它是 [Formula: see text] 的适当子类-琐碎的集合。我们证明了所有这些集合都可以从 [公式：见文本] 中稳健地计算，并且它们形成了可从每个（弱）LR-hard 随机序列计算的集合的适当子理想。我们还展示了理想不能用成本函数来表征，给出了[公式：见文本]-平凡集的[公式：见文本]子理想的第一个这样的例子。Hirschfeldt, CG Jockusch, R. Kuyper 和 PE Schupp, Coarse reducibility and algorithmic randomness, J. Symbolic Logic 81(3) (2016) 1028–1046]，他们表明它是 [Formula: see text] 的适当子类-琐碎的集合。我们证明了所有这些集合都可以从 [公式：见文本] 中稳健地计算，并且它们形成了可从每个（弱）LR-hard 随机序列计算的集合的适当子理想。我们还展示了理想不能用成本函数来表征，给出了[公式：见文本]-平凡集的[公式：见文本]子理想的第一个这样的例子。我们证明了所有这些集合都可以从 [公式：见文本] 中稳健地计算，并且它们形成了可从每个（弱）LR-hard 随机序列计算的集合的适当子理想。我们还展示了理想不能用成本函数来表征，给出了[公式：见文本]-平凡集的[公式：见文本]子理想的第一个这样的例子。我们证明了所有这些集合都可以从 [公式：见文本] 中稳健地计算，并且它们形成了可从每个（弱）LR-hard 随机序列计算的集合的适当子理想。我们还展示了理想不能用成本函数来表征，给出了[公式：见文本]-平凡集的[公式：见文本]子理想的第一个这样的例子。