We prove that a quasi-bialgebra admits a preantipode if and only if the associated free quasi-Hopf bimodule functor is Frobenius, if and only if the related (opmonoidal) monad is a Hopf monad. The same results hold in particular for a bialgebra, tightening the connection between Hopf and Frobenius properties.

中文翻译：

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对映体、前对映体和 Frobenius 函子

我们证明，当且仅当关联的自由准 Hopf 双模函子是 Frobenius，当且仅当相关的（opmonoidal）单子是 Hopf 单子时，准双代数承认前对映体。同样的结果尤其适用于双代数，加强了 Hopf 和 Frobenius 属性之间的联系。