Let [Formula: see text], and let [Formula: see text] be a pair of Möbius transformations corresponding to [Formula: see text] matrices such that [Formula: see text] and [Formula: see text] are disjoint. Given such a pair (called a left–right pair), we can construct a directed graph [Formula: see text] with vertices [Formula: see text] and edges [Formula: see text], which is a collection of infinite binary trees. We answer two questions of Nathanson by classifying all the pairs of elements of [Formula: see text] whose corresponding Möbius transformations form left–right pairs and showing that trees in [Formula: see text] are always rooted.

中文翻译：

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无限根二叉树的左右对和复杂森林

令 [Formula: see text] 并令 [Formula: see text] 是与 [Formula: see text] 矩阵对应的一对莫比乌斯变换，使得 [Formula: see text] 和 [Formula: see text] 是不相交的。给定这样一个对（称为左右对），我们可以构造一个有向图[公式：见文本]，其顶点[公式：见文本]和边[公式：见文本]，它是无限二叉树的集合. 我们通过对 [公式：见文本] 的所有元素对进行分类，其对应的莫比乌斯变换形成左右对并显示 [公式：见文本] 中的树总是有根的，从而回答了 Nathanson 的两个问题。