In this paper, we obtain gradient continuity estimates for viscosity solutions of [Formula: see text] in terms of the scaling critical [Formula: see text]-norm of [Formula: see text], where [Formula: see text] is the normalized [Formula: see text]-Laplacian operator. Our main result corresponds to the borderline gradient continuity estimate in terms of the modified Riesz potential [Formula: see text]. Moreover, for [Formula: see text] with [Formula: see text], we also obtain [Formula: see text] estimates. This improves one of the regularity results in [A. Attouchi, M. Parviainen and E. Ruosteenoja, [Formula: see text] regularity for the normalized [Formula: see text]-Poisson problem, J. Math. Pures Appl. (9) 108(4) (2017) 553–591], where a [Formula: see text] estimate was established depending on the [Formula: see text]-norm of [Formula: see text] under the additional restriction that [Formula: see text] and [Formula: see text]. We also mention that differently from the approach in the above paper, which uses methods from divergence form theory and nonlinear potential theory, the method in this paper is more non-variational in nature, and it is based on separation of phases inspired by the ideas in [L. Wang, Compactness methods for certain degenerate elliptic equations, J. Differential Equations 107(2) (1994) 341–350]. Moreover, for [Formula: see text] continuous, our approach also gives a somewhat different proof of the [Formula: see text] regularity result.

中文翻译：

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归一化 p-Poisson 方程的梯度连续性估计

在本文中，我们根据 [公式：参见文本] 的标度临界 [公式：参见文本]-范数获得 [公式：参见文本] 的粘度解的梯度连续性估计，其中 [公式：参见文本] 是归一化[公式：见正文]-拉普拉斯算子。我们的主要结果对应于修正 Riesz 势 [公式：见文本] 的边界梯度连续性估计。此外，对于[公式：见文本]和[公式：见文本]，我们还获得[公式：见文本]估计。这改进了 [A. Attouchi、M. Parviainen 和 E. Ruosteenoja，[公式：见文本] 规范化 [公式：见文本]-泊松问题的规律性，J. 数学。纯应用程序。(9) 108(4) (2017) 553–591]，其中 [公式：见文本] 估计是根据 [公式：见文本] 的 [公式：见文本] 范数建立的：见文本]下的附加限制是[公式：见文本]和[公式：见文本]。我们还提到，与上述论文中使用散度形式理论和非线性势理论方法的方法不同，本文中的方法在本质上更加非变分，并且基于受思想启发的相分离在 [L. 王，某些退化椭圆方程的紧致性方法，J. 微分方程 107(2) (1994) 341–350]。此外，对于[公式：见文本]连续，我们的方法也给出了[公式：见文本]正则性结果的一些不同的证明。它使用散度形式理论和非线性势理论的方法，本文的方法在本质上更加非变分，并且它基于受[L. 王，某些退化椭圆方程的紧致性方法，J. 微分方程 107(2) (1994) 341–350]。此外，对于[公式：见文本]连续，我们的方法也给出了[公式：见文本]正则性结果的一些不同的证明。它使用散度形式理论和非线性势理论的方法，本文的方法在本质上更加非变分，并且它基于受[L. 王，某些退化椭圆方程的紧致性方法，J. 微分方程 107(2) (1994) 341–350]。此外，对于[公式：见文本]连续，我们的方法也给出了[公式：见文本]正则性结果的一些不同的证明。