Abstract Upper and lower bounds on the heat kernel on complete Riemannian manifolds were obtained in a series of pioneering works due to Cheng-Li-Yau, Cheeger-Yau and Li-Yau. However, these estimates do not give a complete picture of the heat kernel for all times and all pairs of points — in particular, there is a considerable gap between available upper and lower bounds at large distances and/or large times. Inspired by the work of Davies-Mandouvalos on we study heat kernel bounds on Cartan-Hadamard manifolds that are asymptotically hyperbolic in the sense of Mazzeo-Melrose. Under the assumption of no eigenvalues and no resonance at the bottom of the continuous spectrum, we show that the heat kernel on such manifolds is comparable to the heat kernel on hyperbolic space of the same dimension (expressed as a function of time t and geodesic distance r), uniformly for all and all In particular our upper and lower bounds are uniformly comparable for all distances and all times. The corresponding statement for asymptotically Euclidean spaces is not known to hold, and as we argue in the last section, it is very unlikely to be true in that geometry. As an application, we show boundedness on Lp of the Riesz transform for on such manifolds, for p satisfying For (the standard Riesz transform ), this was previously shown by Lohoué in a more general setting.

中文翻译：

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渐近双曲流形上的热核

摘要 完整黎曼流形上热核的上下界是在Cheng-Li-Yau、Cheeger-Yau和Li-Yau的一系列开创性工作中得到的。然而，这些估计并没有给出所有时间和所有点对的热核的完整图片——特别是，在大距离和/或大时间可用的上限和下限之间存在相当大的差距。受 Davies-Mandouvalos 工作的启发，我们研究了 Cartan-Hadamard 流形上的热核边界，这些流形在 Mazzeo-Melrose 的意义上是渐近双曲线的。在连续谱底部没有特征值和共振的假设下，我们证明了这种流形上的热核与相同维度双曲空间上的热核相当（表示为时间 t 和测地线距离 r 的函数），对于所有和所有都是一致的 特别是我们的上限和下限是一致的在所有距离和所有时间都具有可比性。渐近欧几里得空间的相应陈述尚不成立，正如我们在上一节中讨论的那样，在该几何中它不太可能成立。作为一个应用，我们在这样的流形上展示了 Riesz 变换的 Lp 上的有界性，因为 p 满足 For（标准 Riesz 变换），这之前由 Lohoué 在更一般的设置中展示过。渐近欧几里得空间的相应陈述尚不成立，正如我们在上一节中讨论的那样，在该几何中它不太可能成立。作为一个应用，我们在这样的流形上展示了 Riesz 变换的 Lp 上的有界性，因为 p 满足 For（标准 Riesz 变换），这之前由 Lohoué 在更一般的设置中展示过。渐近欧几里得空间的相应陈述尚不成立，正如我们在上一节中讨论的那样，在该几何中它不太可能成立。作为一个应用，我们在这样的流形上展示了 Riesz 变换的 Lp 上的有界性，因为 p 满足 For（标准 Riesz 变换），这之前由 Lohoué 在更一般的设置中展示过。