Copulas are distributions with uniform marginals. Non‐parametric copula estimates may violate the uniformity condition in finite samples. We look at whether it is possible to obtain valid piecewise linear copula densities by triangulation. The copula property imposes strict constraints on design points, making an equi‐spaced grid a natural starting point. However, the mixed‐integer nature of the problem makes a pure triangulation approach impractical on fine grids. As an alternative, we study the ways of approximating copula densities with triangular functions which guarantees that the estimator is a valid copula density. The family of resulting estimators can be viewed as a non‐parametric MLE of B‐spline coefficients on possibly non‐equally spaced grids under simple linear constraints. As such, it can be easily solved using standard convex optimization tools and allows for a degree of localization. A simulation study shows an attractive performance of the estimator in small samples and compares it with some of the leading alternatives. We demonstrate empirical relevance of our approach using three applications. In the first application, we investigate how the body mass index of children depends on that of parents. In the second application, we construct a bivariate copula underlying the Gibson paradox from macroeconomics. In the third application, we show the benefit of using our approach in testing the null of independence against the alternative of an arbitrary dependence pattern.

中文翻译：

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二维 Copulas 的简单估计器，具有应用

Copulas 是具有均匀边缘的分布。非参数 copula 估计可能违反有限样本中的均匀性条件。我们看看是否有可能通过三角剖分获得有效的分段线性 copula 密度。copula 属性对设计点施加了严格的限制，使等距网格成为自然的起点。然而，该问题的混合整数性质使得纯三角剖分方法在精细网格上不切实际。作为替代方案，我们研究了用三角函数逼近 copula 密度的方法，以保证估计量是有效的 copula 密度。结果估计器族可以被视为在简单线性约束下可能不等距网格上的 B 样条系数的非参数 MLE。因此，它可以使用标准的凸优化工具轻松解决，并允许一定程度的本地化。模拟研究显示了估计器在小样本中的有吸引力的性能，并将其与一些领先的替代方案进行了比较。我们使用三个应用程序证明了我们的方法的经验相关性。在第一个应用程序中，我们调查儿童的体重指数如何取决于父母的体重指数。在第二个应用中，我们构建了一个基于宏观经济学吉布森悖论的双变量 copula。在第三个应用程序中，我们展示了使用我们的方法针对任意依赖模式的替代测试独立性无效的好处。模拟研究显示了估计器在小样本中的有吸引力的性能，并将其与一些领先的替代方案进行了比较。我们使用三个应用程序证明了我们的方法的经验相关性。在第一个应用程序中，我们调查儿童的体重指数如何取决于父母的体重指数。在第二个应用中，我们构建了一个基于宏观经济学吉布森悖论的双变量 copula。在第三个应用程序中，我们展示了使用我们的方法针对任意依赖模式的替代测试独立性无效的好处。模拟研究显示了估计器在小样本中的有吸引力的性能，并将其与一些领先的替代方案进行了比较。我们使用三个应用程序证明了我们的方法的经验相关性。在第一个应用程序中，我们调查儿童的体重指数如何取决于父母的体重指数。在第二个应用中，我们构建了一个基于宏观经济学吉布森悖论的双变量 copula。在第三个应用程序中，我们展示了使用我们的方法针对任意依赖模式的替代测试独立性无效的好处。我们构建了一个基于宏观经济学吉布森悖论的双变量 copula。在第三个应用程序中，我们展示了使用我们的方法针对任意依赖模式的替代测试独立性无效的好处。我们构建了一个基于宏观经济学吉布森悖论的双变量 copula。在第三个应用程序中，我们展示了使用我们的方法针对任意依赖模式的替代测试独立性无效的好处。