Abstract This article provides for the first time a general analytical solution to the Lane-Emden equation of the first kind. So far only three known analytical solutions are found in the literature, for the following values of n: 0, 1 and 5. A common feature these three solutions share is their boundary conditions: θ ( ξ ) ∣ ξ = 0 = 1 and d θ ( ξ ) d ξ ∣ ξ = 0 = 0 . If a third boundary condition d 2 θ ( ξ ) d ξ 2 ∣ ξ = 0 ,= − 1 is used, only the solution for n = 1 is able to meet all three. In order to address this difference, our solution aims to be more inclusive and takes into account θ ( ξ ) = 1 ξ and the constant solution. By keeping τ in parametric form, we found out that θ ( ξ ( τ ) ) = 1 ξ ( τ ) → 1 when ξ → 0. Thus proving that 1 ξ → 1 in the origin. It is worth noting that upon integrating the Lane-Emden equation, we came across five parameters. Three of them depend on the three boundary conditions used and two can be adjusted numerically. In order to demonstrate the validity of our solution, we tested it on six cases of interest to the scientific community related to studies on real stars and exoplanets. The adiabatic exponents are n = 1.5 , n = 2 , n = 2.592 , n = 3 , n = 3.23 and n ≃ 5 contained in the intervals 1 n = 1.5 , which corresponds to an adiabatic star supported by the pressure of non-relativistic gas; n = 3 , which corresponds to an adiabatic star supported by the pressure of an ultra-relativistic gas. Finally, n = 2.592 and n = 3.23 , which correspond to exoplanets. The obtained solution of the Lane–Emden equation of the first kind proves valid for any value of n.

中文翻译：

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一类不可解的多变气球一阶Lane-Emden方程的精确解析解

摘要 本文首次给出了第一类 Lane-Emden 方程的一般解析解。到目前为止，文献中只找到了三个已知的解析解，对于以下 n 值：0、1 和 5。这三个解的共同特征是它们的边界条件：θ ( ξ ) ∣ ξ = 0 = 1 和 d θ ( ξ ) d ξ ∣ ξ = 0 = 0。如果使用第三个边界条件 d 2 θ ( ξ ) d ξ 2 ∣ ξ = 0 ,= − 1 ，则只有 n = 1 的解才能满足所有三个条件。为了解决这种差异，我们的解决方案旨在更具包容性，并考虑到 θ ( ξ ) = 1 ξ 和常数解。通过将 τ 保持为参数形式，我们发现当 ξ → 0 时 θ ( ξ ( τ ) ) = 1 ξ ( τ ) → 1。从而证明 1 ξ → 1 在原点。值得注意的是，在对 Lane-Emden 方程进行积分时，我们遇到了五个参数。其中三个取决于所使用的三个边界条件，另外两个可以在数值上进行调整。为了证明我们的解决方案的有效性，我们在与真实恒星和系外行星研究相关的科学界感兴趣的六个案例中对其进行了测试。绝热指数为 n = 1.5 , n = 2 , n = 2.592 , n = 3 , n = 3.23 和 n ≃ 5 包含在区间 1 n = 1.5 中，对应于非相对论压力支持的绝热星气体; n = 3 ，这对应于由超相对论气体压力支持的绝热星。最后， n = 2.592 和 n = 3.23 ，它们对应于系外行星。获得的第一类 Lane-Emden 方程的解证明对任何 n 值都是有效的。其中三个取决于所使用的三个边界条件，另外两个可以在数值上进行调整。为了证明我们的解决方案的有效性，我们在与真实恒星和系外行星研究相关的科学界感兴趣的六个案例中对其进行了测试。绝热指数为 n = 1.5 , n = 2 , n = 2.592 , n = 3 , n = 3.23 和 n ≃ 5 包含在区间 1 n = 1.5 中，对应于非相对论压力支持的绝热星气体; n = 3 ，这对应于由超相对论气体压力支持的绝热星。最后， n = 2.592 和 n = 3.23 ，它们对应于系外行星。获得的第一类 Lane-Emden 方程的解证明对任何 n 值都是有效的。其中三个取决于所使用的三个边界条件，另外两个可以在数值上进行调整。为了证明我们的解决方案的有效性，我们在与真实恒星和系外行星研究相关的科学界感兴趣的六个案例中对其进行了测试。绝热指数为 n = 1.5 , n = 2 , n = 2.592 , n = 3 , n = 3.23 和 n ≃ 5 包含在区间 1 n = 1.5 中，对应于非相对论压力支持的绝热星气体; n = 3 ，这对应于由超相对论气体压力支持的绝热星。最后， n = 2.592 和 n = 3.23 ，它们对应于系外行星。获得的第一类 Lane-Emden 方程的解证明对任何 n 值都是有效的。我们在与真实恒星和系外行星研究相关的科学界感兴趣的六个案例中对其进行了测试。绝热指数为 n = 1.5 , n = 2 , n = 2.592 , n = 3 , n = 3.23 和 n ≃ 5 包含在区间 1 n = 1.5 中，对应于非相对论压力支持的绝热星气体; n = 3 ，这对应于由超相对论气体压力支持的绝热星。最后， n = 2.592 和 n = 3.23 ，它们对应于系外行星。获得的第一类 Lane-Emden 方程的解证明对任何 n 值都是有效的。我们在与真实恒星和系外行星研究相关的科学界感兴趣的六个案例中对其进行了测试。绝热指数为 n = 1.5 , n = 2 , n = 2.592 , n = 3 , n = 3.23 和 n ≃ 5 包含在区间 1 n = 1.5 中，对应于非相对论压力支持的绝热星气体; n = 3 ，这对应于由超相对论气体压力支持的绝热星。最后， n = 2.592 和 n = 3.23 ，它们对应于系外行星。获得的第一类 Lane-Emden 方程的解证明对任何 n 值都是有效的。它对应于由非相对论气体压力支撑的绝热恒星；n = 3 ，对应于由超相对论气体压力支撑的绝热星。最后， n = 2.592 和 n = 3.23 ，它们对应于系外行星。获得的第一类 Lane-Emden 方程的解证明对任何 n 值都是有效的。它对应于由非相对论气体压力支撑的绝热恒星；n = 3 ，对应于由超相对论气体压力支撑的绝热星。最后， n = 2.592 和 n = 3.23 ，它们对应于系外行星。获得的第一类 Lane-Emden 方程的解证明对任何 n 值都是有效的。