We present a simple three-dimensional model to describe the autonomous expansion of a substrate whose growth is driven by the local mean curvature of its surface. The model aims to reproduce the nest construction process in arboreal Nasutitermes termites, whose cooperation may similarly be mediated by the shape of the structure they are walking on, for example focusing the building activity of termites where local mean curvature is high. We adopt a phase-field model where the nest is described by one continuous scalar field and its growth is governed by a single nonlinear equation with one adjustable parameter d. When d is large enough the equation is linearly unstable and fairly reproduces a growth process in which the initial walls expand, branch and merge, while progressively invading all the available space, which is consistent with the intricate structures of real nests. Interestingly, the linear problem associated with our growth equation is analogous to the buckling of a thin elastic plate under symmetric in-plane compression, which is also known to produce rich patterns through nonlinear and secondary instabilities. We validated our model by collecting nests of two species of arboreal Nasutitermes from the field and imaging their structure with a micro-computed tomography scanner. We found a strong resemblance between real and simulated nests, characterized by the emergence of a characteristic length scale and by the abundance of saddle-shaped surfaces with zero-mean curvature, which validates the choice of the driving mechanism of our growth model.

中文翻译：

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由曲率驱动的生长模型再现了树栖白蚁巢穴的几何特征

我们提出了一个简单的三维模型来描述基板的自主膨胀，其生长是由其表面的局部平均曲率驱动的。该模型旨在重现树栖 Nasutitermes 白蚁的筑巢过程，它们的合作可能类似地由它们行走的结构的形状来调节，例如关注局部平均曲率高的白蚁的建筑活动。我们采用相场模型，其中巢由一个连续的标量场描述，其生长由具有一个可调参数 d 的单个非线性方程控制。当 d 足够大时，方程是线性不稳定的，并且公平地再现了初始壁扩展、分支和合并的生长过程，同时逐渐侵入所有可用空间，这与真实巢穴的复杂结构是一致的。有趣的是，与我们的增长方程相关的线性问题类似于平面内对称压缩下薄弹性板的屈曲，这也已知会通过非线性和二次不稳定性产生丰富的模式。我们通过从野外收集两种树栖 Nasutitermes 的巢穴并使用微型计算机断层扫描仪对其结构进行成像来验证我们的模型。我们发现真实和模拟巢穴之间有很强的相似性，其特征是特征长度尺度的出现和具有零平均曲率的鞍形表面的丰富，这验证了我们的增长模型驱动机制的选择。与我们的增长方程相关的线性问题类似于在对称面内压缩下薄弹性板的屈曲，这也已知会通过非线性和二次不稳定性产生丰富的模式。我们通过从野外收集两种树栖 Nasutitermes 的巢穴并使用微型计算机断层扫描仪对其结构进行成像来验证我们的模型。我们发现真实和模拟巢穴之间有很强的相似性，其特征是特征长度尺度的出现和具有零平均曲率的鞍形表面的丰富，这验证了我们的增长模型驱动机制的选择。与我们的增长方程相关的线性问题类似于在对称面内压缩下薄弹性板的屈曲，这也已知会通过非线性和二次不稳定性产生丰富的模式。我们通过从野外收集两种树栖 Nasutitermes 的巢穴并使用微型计算机断层扫描仪对其结构进行成像来验证我们的模型。我们发现真实和模拟巢穴之间有很强的相似性，其特征是特征长度尺度的出现和具有零平均曲率的鞍形表面的丰富，这验证了我们的增长模型驱动机制的选择。众所周知，它会通过非线性和二次不稳定性产生丰富的模式。我们通过从野外收集两种树栖 Nasutitermes 的巢穴并使用微型计算机断层扫描仪对其结构进行成像来验证我们的模型。我们发现真实和模拟巢穴之间有很强的相似性，其特征是特征长度尺度的出现和具有零平均曲率的鞍形表面的丰富，这验证了我们的增长模型驱动机制的选择。众所周知，它会通过非线性和二次不稳定性产生丰富的模式。我们通过从野外收集两种树栖 Nasutitermes 的巢穴并使用微型计算机断层扫描仪对其结构进行成像来验证我们的模型。我们发现真实和模拟巢穴之间有很强的相似性，其特征是特征长度尺度的出现和具有零平均曲率的鞍形表面的丰富，这验证了我们增长模型驱动机制的选择。