In this paper we prove a sub-Riemannian version of the classical Santalo formula: a result in integral geometry that describes the intrinsic Liouville measure on the unit cotangent bundle in terms of the geodesic flow. Our construction works under quite general assumptions, satisfied by any sub-Riemannian structure associated with a Riemannian foliation with totally geodesic leaves (e.g. CR and QC manifolds with symmetries), any Carnot group, and some non-equiregular structures such as the Martinet one. A key ingredient is a "reduction procedure" that allows to consider only a simple subset of sub-Riemannian geodesics. As an application, we derive isoperimetric-type and (p-)Hardy-type inequalities for a compact domain $M$ with piecewise $C^{1,1}$ boundary, and a universal lower bound for the first Dirichlet eigenvalue $\lambda_1(M)$ of the sub-Laplacian, \[ \lambda_1(M) \geq \frac{k \pi^2}{L^2}, \] in terms of the rank $k$ of the distribution and the length $L$ of the longest reduced sub-Riemannian geodesic contained in $M$. All our results are sharp for the sub-Riemannian structures on the hemispheres of the complex and quaternionic Hopf fibrations: \[ \mathbb{S}^1\hookrightarrow \mathbb{S}^{2d+1} \xrightarrow{p} \mathbb{CP}^d, \qquad \mathbb{S}^3\hookrightarrow \mathbb{S}^{4d+3} \xrightarrow{p} \mathbb{HP}^d, \qquad d \geq 1, \] where the sub-Laplacian is the standard hypoelliptic operator of CR and QC geometries, $L = \pi$ and $k=2d$ or $4d$, respectively.

中文翻译：

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亚黎曼桑塔洛公式，适用于等周不等式和亚椭圆算子的第一狄利克雷特征值

在本文中，我们证明了经典 Santalo 公式的亚黎曼版本：积分几何的结果，它根据测地线流描述了单位余切丛上的内在刘维尔测度。我们的构造在相当一般的假设下工作，满足与具有完全测地线叶的黎曼叶理相关的任何亚黎曼结构（例如具有对称性的 CR 和 QC 流形）、任何卡诺群和一些非等正则结构，例如 Martinet 群。一个关键因素是“归约程序”，它允许仅考虑亚黎曼测地线的一个简单子集。作为一个应用，我们推导出了具有分段 $C^{1,1}$ 边界的紧凑域 $M$ 的等周型和 (p-)Hardy 型不等式，和子拉普拉斯算子的第一个狄利克雷特征值 $\lambda_1(M)$ 的通用下界，\[ \lambda_1(M) \geq \frac{k \pi^2}{L^2}, \]分布的秩 $k$ 和包含在 $M$ 中的最长缩减子黎曼测地线的长度 $L$。我们所有的结果对于复数和四元数霍普夫纤维化的半球上的亚黎曼结构都是清晰的：\[ \mathbb{S}^1\hookrightarrow \mathbb{S}^{2d+1} \xrightarrow{p} \ mathbb{CP}^d, \qquad \mathbb{S}^3\hookrightarrow \mathbb{S}^{4d+3} \xrightarrow{p} \mathbb{HP}^d, \qquad d \geq 1, \ ] 其中子拉普拉斯算子是 CR 和 QC 几何的标准亚椭圆算子，分别为 $L = \pi$ 和 $k=2d$ 或 $4d$。\] 就分布的秩 $k$ 和 $M$ 中包含的最长缩减子黎曼测地线的长度 $L$ 而言。我们所有的结果对于复数和四元数霍普夫纤维化的半球上的亚黎曼结构都是清晰的：\[ \mathbb{S}^1\hookrightarrow \mathbb{S}^{2d+1} \xrightarrow{p} \ mathbb{CP}^d, \qquad \mathbb{S}^3\hookrightarrow \mathbb{S}^{4d+3} \xrightarrow{p} \mathbb{HP}^d, \qquad d \geq 1, \ ] 其中子拉普拉斯算子是 CR 和 QC 几何的标准亚椭圆算子，分别为 $L = \pi$ 和 $k=2d$ 或 $4d$。\] 就分布的秩 $k$ 和 $M$ 中包含的最长缩减子黎曼测地线的长度 $L$ 而言。我们所有的结果对于复数和四元数霍普夫纤维化的半球上的亚黎曼结构都是清晰的：\[ \mathbb{S}^1\hookrightarrow \mathbb{S}^{2d+1} \xrightarrow{p} \ mathbb{CP}^d, \qquad \mathbb{S}^3\hookrightarrow \mathbb{S}^{4d+3} \xrightarrow{p} \mathbb{HP}^d, \qquad d \geq 1, \ ] 其中子拉普拉斯算子是 CR 和 QC 几何的标准亚椭圆算子，分别为 $L = \pi$ 和 $k=2d$ 或 $4d$。