Inspired by the work of Le Bruyn and Smith in (Proc. Amer. Math. Soc. 118(3): 725–730, 1993) and the work of Shelton and Vancliff in (Comm. Alg. 30(5): 2535-2552, 2002), we analyze certain graded algebras related to the Lie algebra \(\mathfrak {sl}(2,\Bbbk)\) using geometric techniques in the spirit of Artin, Tate and Van den Bergh. In particular, we discuss the point schemes and line schemes of certain quadratic quantum \(\mathbb {P}^{3}\)s associated to the Lie superalgebra \(\mathfrak {sl}(1|1)\), to a quantized enveloping algebra, \(\mathcal {U}_q(\mathfrak {sl}(2,\Bbbk))\), of \(\mathfrak {sl}(2,\Bbbk)\), and to a color Lie algebra \(\mathfrak {sl}_k(2,\Bbbk)\), respectively. The geometry we consider identifies certain normal elements in the universal enveloping algebra of \(\mathfrak {sl}(1|1)\) and in \(\mathcal {U}_q(\mathfrak {sl}(2,\Bbbk))\).

中文翻译：

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与 （2， ）$ \ mathfrak {sl}（2，\ Bbbk）$相关的某些渐变代数的量子空间

勒布勒因和Smith在工作启发（PROC阿米尔数学SOC。。。。118（3）：725-730，1993）和谢尔顿和Vancliff的在（通讯ALG的工作。30（5）：2535- 2552，2002），我们根据Artin，Tate和Van den Bergh的精神，使用几何技术分析了与Lie代数\（\ mathfrak {sl}（2，\ Bbbk）\）有关的某些分级代数。特别地，我们讨论与李超代数\（\ mathfrak {sl}（1 | 1）\）相关的某些二次量子\（\ mathbb {P} ^ {3} \）的点方案和线方案，量化的包络代数，\（\ mathcal {U】_q（\ mathfrak {SL}（2，\ Bbbk））\） ，的\（\ mathfrak {SL}（2，\ Bbbk）\） ，和一颜色李代数\（\ mathfrak {sl} _k（2，\ Bbbk）\）。我们考虑的几何图形在\（\ mathfrak {sl}（1 | 1）\）和\（\ mathcal {U} _q（\ mathfrak {sl}（2，\ Bbbk） ）\）。