In 1989 Almgren and Lieb proved a rearrangement inequality for the Sobolev spaces of fractional order $W^{s,p}$. The case $p = 2$ of their result implies the nonlocal isoperimetric inequality \[ \frac{P_s(E)}{|E|^{\frac{N-2s}N}} \ge \frac{P_s(B_1)}{|B_1|^{\frac{N-2s}N}},\ \ \ \ \ \ \ 0 < s < 1/2, \] where $P_s$ indicates the fractional $s$-perimeter, and $B_1$ is the unit ball in $\mathbb R^N$. In this note we explicitly compute the best constant, and show that for any $0 < s < 1/2$, one has \[ \frac{P_s(B_1)}{|B_1|^{\frac{N-2s}N}} = \frac{N \pi^{\frac N2 + s} \Gamma (1-2s)}{s \Gamma (\frac N2+1)^{\frac{2s}N} \Gamma (1-s)\Gamma (\frac{N+2-2s}{2})}. \]

中文翻译：

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关于Almgren和Lieb的非局部等距不等式的最佳常数

1989年，Almgren和Lieb证明了分数阶$ W ^ {s，p} $的Sobolev空间的重排不等式。他们的结果$ p = 2 $的情况意味着非局部等距不等式\ [\ frac {P_s（E）} {| E | ^ {\ frac {N-2s} N}} \ ge \ frac {P_s（B_1） } {| B_1 | ^ {\ frac {N-2s} N}}，\ \ \ \ \ \ \ 0 <s <1/2，\]其中$ P_s $表示小数$ s $-周长，而$ B_1 $是$ \ mathbb R ^ N $中的单位球。在此注释中，我们显式计算最佳常数，并表明对于任何$ 0 <s <1/2 $，一个具有\ [\ frac {P_s（B_1）} {| B_1 | ^ {\ frac {N-2s} N }} = \ frac {N \ pi ^ {\ frac N2 + s} \ Gamma（1-2s）} {s \ Gamma（\ frac N2 + 1）^ {\ frac {2s} N} \ Gamma（1- s）\ Gamma（\ frac {N + 2-2s} {2}）}。\]