We identify several classes of curves $C:f=0$, for which the Hilbert vector of the Jacobian module $N(f)$ can be completely determined, namely the 3-syzygy curves, the maximal Tjurina curves and the nodal curves, having only rational irreducible components. A result due to Hartshorne, on the cohomology of some rank 2 vector bundles on $\mathbb{P}^2$, is used to get a sharp lower bound for the initial degree of the Jacobian module $N(f)$, under a semistability condition.

中文翻译：

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关于平面曲线雅可比模的希尔伯特向量

我们确定了几类曲线 $C:f=0$，对于这些曲线可以完全确定雅可比模块 $N(f)$ 的希尔伯特向量，即 3-syzygy 曲线、最大 Tjurina 曲线和节点曲线，只有有理的不可约分量。由于 Hartshorne 的结果，在 $\mathbb{P}^2$ 上的一些秩 2 向量丛的上同调上，用于获得雅可比模块 $N(f)$ 的初始度的急剧下界，在半稳定状态。