Equations governing mechanical systems with nonholonomic constraints can be developed in two ways: (1) using the physical principles of Newtonian mechanics; (2) using a constrained variational principle. Generally, the two sets of resulting equations are not equivalent. While mechanics arises from the first of these methods, sub-Riemannian geometry is a special case of the second. Thus both sets of equations are of independent interest.The equations in both cases are carefully derived using a novel Sobolev analysis where infinite-dimensional Hilbert manifolds are replaced with infinite-dimensional Hilbert spaces for the purposes of analysis. A useful representation of these equations is given using the so-called constrained connection derived from the system's Riemannian metric, and the constraint distribution and its orthogonal complement. In the special case of sub-Riemannian geometry, some observations are made about the affine connection formulation of the equations for extremals.Using the affine connection formulation of the equations, the physical and variational equations are compared and conditions are given that characterise when all physical solutions arise as extremals in the variational formulation. The characterisation is complete in the real analytic case, while in the smooth case a locally constant rank assumption must be made. The main construction is that of the largest affine subbundle variety of a subbundle that is invariant under the flow of an affine vector field on the total space of a vector bundle.

中文翻译：

---

非完整和受约束的变分力学

具有非完整约束的机械系统方程可以通过两种方法来开发：（1）使用牛顿力学的物理原理；（2）采用约束变分原理。通常，两组结果方程式不相等。虽然力学是由这些方法中的第一种产生的，但次黎曼几何是第二种方法的特例。因此，这两组方程都是相互独立的。两种情况下的方程都是使用新颖的Sobolev分析仔细推导的，其中无穷维希尔伯特流形被无穷维希尔伯特空间代替，以进行分析。这些方程的有用表示形式是使用从系统的黎曼度量，约束分布及其正交互补得出的所谓约束连接。在亚黎曼几何的特殊情况下，对极值方程的仿射连接公式作了一些观察，利用方程的仿射连接公式，比较了物理方程和变分方程，并给出了当所有物理方程解决方案作为变式公式中的极值出现。在真实的分析情况下，表征是完整的，而在平稳的情况下，必须做出局部恒定秩的假设。主要构造是子束的最大仿射子束变种的构造，该子束在向量束总空间上的仿射向量场的流动下是不变的。使用方程的仿射连接公式，比较了物理方程和变分方程，并给出了条件，这些条件表征了所有物理解在变分公式中都出现极值的情况。在真实的分析情况下，表征是完整的，而在平稳的情况下，必须做出局部恒定秩的假设。主要构造是子束的最大仿射子束变种的构造，该子束在向量束总空间上的仿射向量场的流动下是不变的。使用方程的仿射连接公式，比较了物理方程和变分方程，并给出了条件，这些条件表征了所有物理解在变分公式中都出现极值的情况。在真实的分析情况下，表征是完整的，而在平滑的情况下，必须做出局部恒定秩的假设。主要构造是子束的最大仿射子束变种的构造，该子束在向量束总空间上的仿射向量场的流动下是不变的。在平稳情况下，必须做出局部恒定等级的假设。主要构造是子束的最大仿射子束变种的构造，该子束在向量束总空间上的仿射向量场的流动下是不变的。在平稳情况下，必须做出局部恒定等级的假设。主要构造是子束的最大仿射子束变种的构造，该子束在向量束总空间上的仿射向量场的流动下是不变的。