In this paper, we study the spatiotemporal dynamics of a diffusive predator-prey model with generalist predator subject to homogeneous Neumann boundary condition. Some basic dynamics including the dissipation, persistence and non-persistence(i.e., one species goes extinct), the local and global stability of non-negative constant steady states of the model are investigated. The conditions of Turing instability due to diffusion at positive constant steady states are presented. A critical value $ \rho $ of the ratio $ \frac{d_2}{d_1} $ of diffusions of predator to prey is obtained, such that if $ \frac{d_2}{d_1}>\rho $, then along with other suitable conditions Turing bifurcation will emerge at a positive steady state, in particular so it is with the large diffusion rate of predator or the small diffusion rate of prey; while if $ \frac{d_2}{d_1}<\rho $, both the reaction-diffusion system and its corresponding ODE system are stable at the positive steady state. In addition, we provide some results on the existence and non-existence of positive non-constant steady states. These existence results indicate that the occurrence of Turing bifurcation, along with other suitable conditions, implies the existence of non-constant positive steady states bifurcating from the constant solution. At last, by numerical simulations, we demonstrate Turing pattern formation on the effect of the varied diffusive ratio $ \frac{d_2}{d_1} $. As $ \frac{d_2}{d_1} $ increases, Turing patterns change from spots pattern, stripes pattern into spots-stripes pattern. It indicates that the pattern formation of the model is rich and complex.

中文翻译：

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具有通性捕食者的扩散捕食者－食饵模型的时空动力学

在本文中，我们研究了具有齐性Neumann边界条件的具有多面体捕食者的扩散捕食者－食饵模型的时空动力学。研究了一些基本动力学，包括耗散，持久性和非持久性（即一个物种灭绝），模型的非负恒定稳态的局部和全局稳定性。给出了由于在正常数稳态下的扩散而引起的图灵不稳定性的条件。获得捕食者对猎物的扩散比率$ \ frac {d_2} {d_1} $的临界值$ \ rho $，使得如果$ \ frac {d_2} {d_1}> \ rho $，则与其他合适的条件图灵分叉将出现在正稳态，特别是在捕食者扩散率大或猎物扩散率小的情况下。如果$ \ frac {d_2} {d_1} <\ rho $，则反应扩散系统及其相应的ODE系统都在正稳态下保持稳定。另外，我们提供了关于正非恒定稳态的存在和不存在的一些结果。这些存在结果表明，图灵分叉的发生，以及其他合适的条件，暗示着存在从恒定解分叉的非恒定正稳态。最后，通过数值模拟，我们证明了图灵图案的形成对变化的扩散比$ \ frac {d_2} {d_1} $的影响。随着$ \ frac {d_2} {d_1} $的增加，图灵图案从斑点图案，条纹图案变为斑点-条纹图案。这表明模型的模式形成是丰富而复杂的。反应扩散系统及其相应的ODE系统都在正稳态下保持稳定。另外，我们提供了关于正非恒定稳态的存在和不存在的一些结果。这些存在结果表明，图灵分叉的发生，以及其他合适的条件，暗示着存在从恒定解分叉的非恒定正稳态。最后，通过数值模拟，我们证明了图灵图案的形成对变化的扩散比$ \ frac {d_2} {d_1} $的影响。随着$ \ frac {d_2} {d_1} $的增加，图灵图案从斑点图案，条纹图案变为斑点-条纹图案。这表明模型的模式形成是丰富而复杂的。反应扩散系统及其相应的ODE系统都在正稳态下保持稳定。另外，我们提供了关于正非恒定稳态的存在和不存在的一些结果。这些存在结果表明，图灵分叉的发生，以及其他合适的条件，暗示着存在从恒定解分叉的非恒定正稳态。最后，通过数值模拟，我们证明了图灵图案的形成对变化的扩散比$ \ frac {d_2} {d_1} $的影响。随着$ \ frac {d_2} {d_1} $的增加，图灵图案从斑点图案，条纹图案变为斑点-条纹图案。这表明模型的模式形成是丰富而复杂的。我们提供关于正非恒定稳态的存在和不存在的一些结果。这些存在结果表明，图灵分叉的发生，以及其他合适的条件，暗示着存在从恒定解分叉的非恒定正稳态。最后，通过数值模拟，我们证明了图灵图案的形成对变化的扩散比$ \ frac {d_2} {d_1} $的影响。随着$ \ frac {d_2} {d_1} $的增加，图灵图案从斑点图案，条纹图案变为斑点-条纹图案。这表明模型的模式形成是丰富而复杂的。我们提供关于正非恒定稳态的存在和不存在的一些结果。这些存在结果表明，图灵分叉的发生，以及其他合适的条件，暗示着存在从恒定解分叉的非恒定正稳态。最后，通过数值模拟，我们证明了图灵图案的形成对变化的扩散比$ \ frac {d_2} {d_1} $的影响。随着$ \ frac {d_2} {d_1} $的增加，图灵图案从斑点图案，条纹图案变为斑点-条纹图案。这表明模型的模式形成是丰富而复杂的。暗示存在从常数解中分叉的非常数正稳态。最后，通过数值模拟，我们证明了图灵图案的形成对变化的扩散比$ \ frac {d_2} {d_1} $的影响。随着$ \ frac {d_2} {d_1} $的增加，图灵图案从斑点图案，条纹图案变为斑点-条纹图案。这表明模型的模式形成是丰富而复杂的。暗示存在从常数解中分叉的非常数正稳态。最后，通过数值模拟，我们证明了图灵图案的形成对变化的扩散比$ \ frac {d_2} {d_1} $的影响。随着$ \ frac {d_2} {d_1} $的增加，图灵图案从斑点图案，条纹图案变为斑点-条纹图案。这表明模型的模式形成是丰富而复杂的。