We study the regularity of exceptional actions of groups by $ C^{1, \alpha} $ diffeomorphisms on the circle, i.e. ones which admit exceptional minimal sets, and whose elements have first derivatives that are continuous with concave modulus of continuity $ \alpha $. Let $ G $ be a finitely generated group admitting a $ C^{1, \alpha} $ action $ \rho $ with a free orbit on the circle, and such that the logarithms of derivatives of group elements are uniformly bounded at some point of the circle. We prove that if $ G $ has spherical growth bounded by $ c n^{d-1} $ and if the function $ 1/\alpha^d $ is integrable near zero, then under some mild technical assumptions on $ \alpha $, there is a sequence of exceptional $ C^{1, \alpha} $ actions of $ G $ which converge to $ \rho $ in the $ C^1 $ topology. As a consequence for a single diffeomorphism, we obtain that if the function $ 1/\alpha $ is integrable near zero, then there exists a $ C^{1, \alpha} $ exceptional diffeomorphism of the circle. This corollary accounts for all previously known moduli of continuity for derivatives of exceptional diffeomorphisms. We also obtain a partial converse to our main result. For finitely generated free abelian groups, the existence of an exceptional action, together with some natural hypotheses on the derivatives of group elements, puts integrability restrictions on the modulus $ \alpha $. These results are related to a long-standing question of D. McDuff concerning the length spectrum of exceptional $ C^1 $ diffeomorphisms of the circle.

中文翻译：

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Denjoy反例的模量和正则性的可积性

我们通过圆上的$ C ^ {1，\ alpha} $微分同态，即那些接受极小极小集，并且其元素具有一阶导数且具有凹连续性模数\ \ alpha的连续项，研究组的异常作用的规律性。 $。假设$ G $是一个有限生成的组，它允许$ C ^ {1，\ alpha} $动作$ \ rho $在圆上具有自由轨道，并且使得组元素的导数的对数在某个点上一致地有界圆。我们证明，如果$ G $具有以cn ^ {d-1} $为边界的球形增长，并且函数$ 1 / \ alpha ^ d $可积为零，那么在$ alpha的一些温和技术假设下，在$ C ^ 1 $拓扑中，有一系列$ G $的例外$ C ^ {1，\ alpha} $动作收敛到$ \ rho $。结果是一个单一的同构 我们得到的结果是，如果函数$ 1 / \ alpha $在零附近可积，则存在$ C ^ {1，\ alpha} $圆的异常微分。这个推论说明了所有先前已知的特殊微分同构导数的连续性模量。我们还获得了与主要结果相反的部分结论。对于有限生成的自由阿贝尔群，存在异常作用以及对群元素的导数的一些自然假设，对模数$ \ alpha $施加了可积性限制。这些结果与D.McDuff长期存在的问题有关，该问题涉及圆的异常C C ^ 1 $亚同态的长度谱。这个推论说明了所有先前已知的特殊微分同构导数的连续性模量。我们还获得了与主要结果相反的部分结论。对于有限生成的自由阿贝尔群，存在异常作用以及对群元素的导数的一些自然假设，对模数$ \ alpha $施加了可积性限制。这些结果与D.McDuff长期存在的问题有关，该问题涉及圆的异常$ C ^ 1 $亚同形的长度谱。这个推论说明了所有先前已知的特殊微分同构导数的连续性模量。我们还获得了与主要结果部分相反的结论。对于有限生成的自由阿贝尔群，存在异常作用以及对群元素的导数的一些自然假设，对模数$ \ alpha $施加了可积性限制。这些结果与D.McDuff长期存在的问题有关，该问题涉及圆的异常$ C ^ 1 $亚同形的长度谱。对模数$ \ alpha $设置可积性限制。这些结果与D.McDuff长期存在的问题有关，该问题涉及圆的异常$ C ^ 1 $亚同形的长度谱。对模数$ \ alpha $设置可积性限制。这些结果与D.McDuff长期存在的问题有关，该问题涉及圆的异常$ C ^ 1 $亚同形的长度谱。