Let $w$ be a word in $k$ variables. For a finite nilpotent group $G$, a conjecture of Amit states that $N_w(1) \ge |G|^{k-1}$, where $N_w(1)$ is the number of $k$-tuples $(g_1,...,g_k)\in G^{(k)}$ such that $w(g_1,...,g_k)=1$. Currently, this conjecture is known to be true for groups of nilpotency class 2. Here we consider a generalized version of Amit's conjecture, and prove that $N_w(g) \ge |G|^{k-2}$, where $g$ is a $w$-value in $G$, for finite groups $G$ of odd order and nilpotency class 2. If $w$ is a word in two variables, we further show that $N_w(g) \ge |G|$, where $g$ is a $w$-value in $G$ for finite groups $G$ of nilpotency class 2. In addition, for $p$ a prime, we show that finite $p$-groups $G$, with two distinct irreducible complex character degrees, satisfy the generalized Amit conjecture for words $w_k =[x_1,y_1]...[x_k,y_k]$ with $k$ a natural number; that is, for $g$ a $w_k$-value in $G$ we have $N_{w_k}(g) \ge |G|^{2k-1}$. Finally, we discuss the related group properties of being rational and chiral, and show that every finite group of nilpotency class 2 is rational.

中文翻译：

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有限幂零群的词问题

让 $w$ 成为 $k$ 变量中的一个词。对于有限幂零群 $G$，Amit 的猜想指出 $N_w(1) \ge |G|^{k-1}$，其中 $N_w(1)$ 是 $k$-元组 $ (g_1,...,g_k)\in G^{(k)}$ 使得 $w(g_1,...,g_k)=1$。目前，已知这个猜想对于幂零类 2 的群是正确的。 这里我们考虑 Amit 猜想的广义版本，并证明 $N_w(g) \ge |G|^{k-2}$，其中 $g $ 是 $G$ 中的 $w$-值，对于奇数阶和幂零类 2 的有限群 $G$。如果 $w$ 是两个变量中的单词，我们进一步证明 $N_w(g) \ge | G|$，其中 $g$ 是幂零类 2 的有限群 $G$ 在 $G$ 中的 $w$-值。此外，对于 $p$ 是素数，我们证明有限的 $p$-groups $ G$，具有两个不同的不可约复字符度，满足词的广义 Amit 猜想 $w_k =[x_1,y_1]...[x_k, y_k]$ 以 $k$ 为自然数；也就是说，对于 $g$ 中的 $w_k$ 值，我们有 $N_{w_k}(g) \ge |G|^{2k-1}$。最后，我们讨论了有理和手性的相关群性质，并证明了幂零类 2 的每个有限群都是有理的。