In numerical strategies developed for determining the effective macroscopic properties of heterogeneous media, the efficient and robust computation of macroscopic tangent moduli represents an essential step to achieve. Indeed, these tangent moduli are usually required in several numerical applications, such as the FE2 method and the prediction of the onset of material and structural instabilities in heterogeneous media by loss of ellipticity approaches. This paper presents a comparative study of three numerical techniques for the computation of such tangent moduli in the context of periodic homogenization: the perturbation technique, the condensation technique and the fluctuation technique. The practical implementations of these techniques within ABAQUS/Standard finite element (FE) code are especially underlined. These implementations are based on the development of a set of Python scripts, which are connected to the finite element computations to handle the computation of the tangent moduli. The extension of these techniques to mechanical problems exhibiting symmetry properties is also detailed in this contribution. The reliability, accuracy and ease of implementation of these techniques are evaluated through some typical numerical examples. It is shown from this numerical and technical study that the condensation method reveals to be the most reliable and efficient. Also, this paper provides valuable reference guidelines to ABAQUS/Standard users for the determination of the homogenized tangent moduli of linear or nonlinear heterogeneous materials, such as composites, polycrystalline aggregates and porous solids.

中文翻译：

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三种周期均匀化方法计算宏观切线模量的比较研究

在为确定非均质介质的有效宏观特性而开发的数值策略中，宏观切线模量的高效和稳健计算是实现的重要步骤。事实上，这些切线模量通常在一些数值应用中是必需的，例如 FE2 方法和通过椭圆率损失方法预测异质介质中材料和结构不稳定性的开始。本文介绍了在周期性均匀化的背景下计算这种切线模量的三种数值技术的比较研究：扰动技术、凝聚技术和波动技术。特别强调了这些技术在 ABAQUS/标准有限元 (FE) 代码中的实际实现。这些实现基于一组 Python 脚本的开发，这些脚本连接到有限元计算以处理切线模量的计算。这篇文章还详细介绍了这些技术对表现出对称特性的机械问题的扩展。通过一些典型的数值例子来评估这些技术的可靠性、准确性和易实现性。从这个数值和技术研究表明，冷凝方法是最可靠和最有效的。此外，本文为 ABAQUS/Standard 用户提供了有价值的参考指南，用于确定线性或非线性非均质材料（如复合材料、多晶聚集体和多孔固体）的均质切线模量。它们连接到有限元计算以处理切线模量的计算。这篇文章还详细介绍了这些技术对表现出对称特性的机械问题的扩展。通过一些典型的数值例子来评估这些技术的可靠性、准确性和易实现性。从这个数值和技术研究表明，冷凝方法是最可靠和最有效的。此外，本文为 ABAQUS/Standard 用户提供了有价值的参考指南，用于确定线性或非线性非均质材料（如复合材料、多晶聚集体和多孔固体）的均质切线模量。它们连接到有限元计算以处理切线模量的计算。这些技术扩展到表现出对称特性的机械问题也在这篇贡献中详细说明。通过一些典型的数值例子来评估这些技术的可靠性、准确性和易实现性。从这个数值和技术研究表明，冷凝方法是最可靠和最有效的。此外，本文为 ABAQUS/Standard 用户提供了有价值的参考指南，用于确定线性或非线性非均质材料（如复合材料、多晶聚集体和多孔固体）的均质切线模量。这篇文章还详细介绍了这些技术对表现出对称特性的机械问题的扩展。通过一些典型的数值例子来评估这些技术的可靠性、准确性和易实现性。从这个数值和技术研究表明，冷凝方法是最可靠和最有效的。此外，本文为 ABAQUS/Standard 用户提供了有价值的参考指南，用于确定线性或非线性非均质材料（如复合材料、多晶聚集体和多孔固体）的均质切线模量。这篇文章还详细介绍了这些技术对表现出对称特性的机械问题的扩展。通过一些典型的数值例子来评估这些技术的可靠性、准确性和易实现性。从这个数值和技术研究表明，冷凝方法是最可靠和最有效的。此外，本文为 ABAQUS/Standard 用户提供了有价值的参考指南，用于确定线性或非线性非均质材料（如复合材料、多晶聚集体和多孔固体）的均质切线模量。通过一些典型的数值例子来评估这些技术的准确性和易实现性。从这个数值和技术研究表明，冷凝方法是最可靠和最有效的。此外，本文为 ABAQUS/Standard 用户提供了有价值的参考指南，用于确定线性或非线性非均质材料（如复合材料、多晶聚集体和多孔固体）的均质切线模量。通过一些典型的数值例子来评估这些技术的准确性和易实现性。从这个数值和技术研究表明，冷凝方法是最可靠和最有效的。此外，本文为 ABAQUS/Standard 用户提供了有价值的参考指南，用于确定线性或非线性非均质材料（如复合材料、多晶聚集体和多孔固体）的均质切线模量。