Let ${\chi }_{\mathrm{\Delta }}({\mathbb{R}}^n)$ denote the minimum number of colors needed to color ${\mathbb{R}}^n$ so that there will not be a monochromatic equilateral triangle with side length 1. Using the slice rank method, we reprove a result of Frankl and Rodl, and show that ${\chi }_{\mathrm{\Delta }}({\mathbb{R}}^n)$ grows exponentially with $n$. This technique substantially improves upon the best known quantitative lower bounds for ${\chi }_{\mathrm{\Delta }}({\mathbb{R}}^n)$, and we obtain

$${\chi }_{\mathrm{\Delta }}\left({\mathbb{R}}^n\right)>{(1.01446+o(1))}^n.$$

中文翻译：

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单位距离图中的单色等边三角形

让 ${\chi }_{\mathrm{\Delta }}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$ 表示着色所需的最少颜色数 ${\mathbb{[R}}^{ñ}$ 这样就不会有边长为1的单色等边三角形。使用切片秩方法，我们证明了Frankl和Rodl的结果，并证明了 ${\chi }_{\mathrm{\Delta }}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$ 与成倍增长 $ñ$。该技术大大改善了最著名的定量下限${\chi }_{\mathrm{\Delta }}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$，我们得到

$${\chi }_{\mathrm{\Delta }}\left({\mathbb{[R}}^{ñ}\right)>{（1.01446+Ø（\mathrm{1个}））}^{ñ}。$$