Let $\mathrm{\Gamma }$ be the hyperbola $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:xy=1\}$ and ${\mathrm{\Lambda }}_{\beta }$ be the lattice‐cross defined by ${\mathrm{\Lambda }}_{\beta }=(\mathbb{Z}\times \{0\})\cup (\{0\}\times \beta \mathbb{Z})$ in ${\mathbb{R}}^2$, where $\beta$ is a positive real. A result of Hedenmalm and Montes‐Rodríguez says that $(\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Lambda }}_{\beta })$ is a Heisenberg uniqueness pair if and only if $\beta ⩽1$. In this paper, we show that for a rational perturbation of ${\mathrm{\Lambda }}_{\beta }$, namely

$${\mathrm{\Lambda }}_{\beta }^{\theta }=\left((\mathbb{Z}+\{\theta \})\times \{0\}\right)\cup \left(\{0\}\times \beta \mathbb{Z}\right),$$

where $\theta =1/p,\text{for}\text{some}p\in \mathbb{N}$ and $\beta$ is a positive real, the pair $(\mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Lambda }}_{\beta }^{\theta })$ is a Heisenberg uniqueness pair if and only if $\beta ⩽p$.

中文翻译：

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双曲线的海森堡唯一性对

让 $\mathrm{\Gamma }$ 成为双曲线 $\{（X，ÿ）\in {\mathbb{[R}}^2：Xÿ=\mathrm{1个}\}$ 和 ${\mathrm{\Lambda }}_{\beta }$ 是由定义的晶格交叉 ${\mathrm{\Lambda }}_{\beta }=（\mathbb{ž}\times \{0\}）\cup （\{0\}\times \beta \mathbb{ž}）$ 在 ${\mathbb{[R}}^2$，在哪里 $\beta$是一个积极的现实。Hedenmalm和Montes-Rodríguez的结果说$（\mathrm{\Gamma }，{\mathrm{\Lambda }}_{\beta }）$ 是海森堡唯一性对，当且仅当 $\beta ⩽\mathrm{1个}$。在本文中，我们证明了对于${\mathrm{\Lambda }}_{\beta }$，即

$${\mathrm{\Lambda }}_{\beta }^{\theta }=\left(（\mathbb{ž}+\{\theta \}）\times \{0\}\right)\cup \left(\{0\}\times \beta \mathbb{ž}\right)，$$

哪里 $\theta =\mathrm{1个}/p，\text{对于}\text{一些}p\in \mathbb{ñ}$ 和 $\beta$ 是一个积极的现实，这对 $（\mathrm{\Gamma }，{\mathrm{\Lambda }}_{\beta }^{\theta }）$ 是海森堡唯一性对，当且仅当 $\beta ⩽p$。