Abstract For a positive integer N, let C ( N ) be the subgroup of J 0 ( N ) generated by the equivalence classes of cuspidal divisors of degree 0 and C ( N ) ( Q ) : = C ( N ) ∩ J 0 ( N ) ( Q ) be its Q -rational subgroup. Let also C Q ( N ) be the subgroup of C ( N ) ( Q ) generated by Q -rational cuspidal divisors. We prove that when N = n 2 M for some integer n dividing 24 and some squarefree integer M, the two groups C ( N ) ( Q ) and C Q ( N ) are equal. To achieve this, we show that all modular units on X 0 ( N ) on such N are products of functions of the form η ( m τ + k / h ) , m h 2 | N and k ∈ Z and determine the necessary and sufficient conditions for products of such functions to be modular units on X 0 ( N ) .

中文翻译：

---

具有 n|24 和 M squarefree 的 X0(n2M) 上的模单位和尖点除数类

摘要 对于一个正整数 N，令 C ( N ) 为 J 0 ( N ) 的子群，由 0 次尖角因数和 C ( N ) ( Q ) 的等价类生成： = C ( N ) ∩ J 0 ( N ) ( Q ) 是它的 Q -有理子群。还设 CQ ( N ) 是由 Q 有理尖峰因数生成的 C ( N ) ( Q ) 的子群。我们证明当 N = n 2 M 对于某个整数 n 除以 24 和某个无平方整数 M 时，两组 C ( N ) ( Q ) 和 CQ ( N ) 相等。为了实现这一点，我们证明了这样的 N 上 X 0 ( N ) 上的所有模块化单元都是 η ( m τ + k / h ) , mh 2 | 形式的函数的乘积。N 和 k ∈ Z 并确定这些函数的乘积是 X 0 ( N ) 上的模单元的充要条件。