We first introduce and study two new classes of subsets in $T_0$ spaces - Rudin sets and $\wdd$ sets lying between the class of all closures of directed subsets and that of irreducible closed subsets. Using such subsets, we define three new types of topological spaces - $\mathsf{DC}$ spaces, Rudin spaces and $\wdd$ spaces. The class of Rudin spaces lie between the class of $\wdd$ spaces and that of $\dc$ spaces, while the class of $\dc$ spaces lies between the class of Rudin spaces and that of sober spaces. Using Rudin sets and $\wdd$ sets, we formulate and prove a number of new characterizations of well-filtered spaces and sober spaces. For a $T_0$ space $X$, it is proved that $X$ is sober if{}f $X$ is a well-filtered Rudin space if{}f $X$ is a well-filtered $\mathsf{WD}$ space. We also prove that every locally compact $T_0$ space is a Rudin space, and every core compact $T_0$ space is a $\wdd$ space. One immediate corollary is that every core compact well-filtered space is sober, giving a positive answer to Jia-Jung problem. Using $\wdd$ sets, we present a more directed construction of the well-filtered reflections of $T_0$ spaces, and prove that the products of any collection of well-filtered spaces are well-filtered. Our study also leads to a number of problems, whose answering will deepen our understanding of the related spaces and structures.

中文翻译：

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在由过滤良好的空间确定的 T0 空间上

我们首先介绍和研究 $T_0$ 空间中两类新的子集——Rudin 集和 $\wdd$ 集，它们位于有向子集的所有闭包类和不可约闭子集的类之间。使用这些子集，我们定义了三种新类型的拓扑空间 - $\mathsf{DC}$ 空间、Rudin 空间和 $\wdd$ 空间。Rudin 空间的类别介于 $\wdd$ 空间和 $\dc$ 空间之间，而 $\dc$ 空间类别介于 Rudin 空间和清醒空间之间。使用 Rudin 集和 $\wdd$ 集，我们制定并证明了良好过滤空间和清醒空间的许多新特征。对于 $T_0$ 空间 $X$，如果 f $X$ 是经过良好过滤的 Rudin 空间，则证明 $X$ 是清醒的，如果{}f $X$ 是经过良好过滤的 $\mathsf{WD }$ 空间。我们也证明了每一个局部紧致的$T_0$空间都是一个Rudin空间，每一个核心紧致的$T_0$空间都是一个$\wdd$空间。一个直接的推论是，每个核心紧凑的过滤良好的空间都是清醒的，对嘉荣问题给出了肯定的答案。使用 $\wdd$ 集合，我们提出了 $T_0$ 空间的经过良好过滤的反射的更直接构造，并证明任何经过良好过滤的空间集合的乘积都是经过良好过滤的。我们的研究也引出了一些问题，这些问题的回答将加深我们对相关空间和结构的理解。我们提出了 $T_0$ 空间的经过良好过滤的反射的更直接构造，并证明任何经过良好过滤的空间集合的乘积都是经过良好过滤的。我们的研究也引出了一些问题，这些问题的回答将加深我们对相关空间和结构的理解。我们提出了 $T_0$ 空间的经过良好过滤的反射的更直接构造，并证明任何经过良好过滤的空间集合的乘积都是经过良好过滤的。我们的研究也引出了一些问题，这些问题的回答将加深我们对相关空间和结构的理解。