Abstract This work presents a new return mapping, which can be an essential part in the numerical integration of the equations of motion of multibody systems involving impact events. For such systems, each unilateral constraint introduces a boundary hypersurface within the original configuration manifold, restricting the allowable motions on one side of this hypersurface only. When an impact is detected during a step of a time-stepping integration scheme, the position of the system may escape from the allowable range temporarily. Then, this return map is applied at the end of this step in order to bring the system position back to the constrained configuration manifold. The novelty of the new map is related to the fact that both the original and the constrained configuration manifolds of the class of systems examined are non-Euclidean. Its construction and application is based on geometric properties of Jacobi fields on a manifold, specialized for Lie groups. Specifically, once an impact is detected numerically, a sequence of appropriate projections is performed up until the converged position is located within the constrained manifold. Then, if the final position is sufficiently close to the boundary of this manifold and the generalized velocity has a direction pointing towards this boundary, the position and the velocity determined are considered to represent the pre-impact state of the system, which can be used to predict its post-impact state. Finally, the accuracy and efficiency of the new method is demonstrated by applying it to a selected set of mechanical examples.

中文翻译：

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具有冲击的多体系统非平面构型空间中的新返回图

摘要 这项工作提出了一种新的返回映射，它可以成为涉及碰撞事件的多体系统运动方程数值积分的重要组成部分。对于这样的系统，每个单边约束都会在原始配置流形中引入一个边界超曲面，仅限制该超曲面一侧的允许运动。当在时间步进积分方案的一个步骤中检测到碰撞时，系统的位置可能会暂时脱离允许范围。然后，在此步骤结束时应用此返回图，以便将系统位置带回受约束的配置流形。新地图的新颖性与所检查系统类别的原始配置流形和受约束配置流形都是非欧几里得的这一事实有关。它的构造和应用基于流形上雅可比场的几何性质，专门用于李群。具体来说，一旦以数值方式检测到撞击，就会执行一系列适当的投影，直到收敛位置位于受约束的流形内。那么，如果最终位置足够接近这个流形的边界，并且广义速度有一个指向这个边界的方向，那么确定的位置和速度被认为代表了系统的预碰撞状态，可以使用预测其撞击后状态。最后，通过将新方法应用于一组选定的机械示例，证明了新方法的准确性和效率。专门用于李群。具体来说，一旦以数值方式检测到撞击，就会执行一系列适当的投影，直到收敛位置位于受约束的流形内。那么，如果最终位置足够接近这个流形的边界，并且广义速度有一个指向这个边界的方向，那么确定的位置和速度被认为代表了系统的预碰撞状态，可以使用预测其撞击后状态。最后，通过将新方法应用于一组选定的机械示例，证明了新方法的准确性和效率。专门用于李群。具体来说，一旦以数值方式检测到撞击，就会执行一系列适当的投影，直到收敛位置位于受约束的流形内。那么，如果最终位置足够接近这个流形的边界，并且广义速度有一个指向这个边界的方向，那么确定的位置和速度被认为代表了系统的预碰撞状态，可以使用预测其撞击后状态。最后，通过将新方法应用于一组选定的机械示例，证明了新方法的准确性和效率。如果最终位置足够接近这个流形的边界并且广义速度有一个指向这个边界的方向，那么确定的位置和速度被认为代表了系统的撞击前状态，可以用来预测它的撞击后状态。最后，通过将新方法应用于一组选定的机械示例，证明了新方法的准确性和效率。如果最终位置足够接近这个流形的边界并且广义速度有一个指向这个边界的方向，那么确定的位置和速度被认为代表了系统的撞击前状态，可以用来预测它的撞击后状态。最后，通过将新方法应用于一组选定的机械示例，证明了新方法的准确性和效率。