It is well-know that deciding consistency for normal answer set programs (ASP) is NP-complete, thus, as hard as the satisfaction problem for classical propositional logic (SAT). The best algorithms to solve these problems take exponential time in the worst case. The exponential time hypothesis (ETH) implies that this result is tight for SAT, that is, SAT cannot be solved in subexponential time. This immediately establishes that the result is also tight for the consistency problem for ASP. However, accounting for the treewidth of the problem, the consistency problem for ASP is slightly harder than SAT: while SAT can be solved by an algorithm that runs in exponential time in the treewidth k, it was recently shown that ASP requires exponential time in k \cdot log(k). This extra cost is due checking that there are no self-supported true atoms due to positive cycles in the program. In this paper, we refine the above result and show that the consistency problem for ASP can be solved in exponential time in k \cdot log({\lambda}) where {\lambda} is the minimum between the treewidth and the size of the largest strongly-connected component in the positive dependency graph of the program. We provide a dynamic programming algorithm that solves the problem and a treewidth-aware reduction from ASP to SAT that adhere to the above limit.

中文翻译：

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ASP 中的 Treewidth-Aware 复杂性：并非所有正循环都同样困难

众所周知，决定正常答案集程序 (ASP) 的一致性是 NP 完全的，因此与经典命题逻辑 (SAT) 的满意度问题一样困难。在最坏的情况下，解决这些问题的最佳算法需要指数级的时间。指数时间假设（ETH）意味着这个结果对 SAT 来说是紧的，即 SAT 不能在次指数时间内求解。这立即表明结果对于 ASP 的一致性问题也很严格。然而，考虑到问题的树宽，ASP 的一致性问题比 SAT 稍微难一些：虽然 SAT 可以通过在树宽 k 中以指数时间运行的算法来解决，但最近表明 ASP 在 k 中需要指数时间\cdot 日志（k）。这一额外成本是由于检查程序中是否存在正循环导致的自支持真原子。在本文中，我们改进了上述结果，并表明 ASP 的一致性问题可以在 k \cdot log({\lambda}) 的指数时间内解决，其中 {\lambda} 是树宽和大小之间的最小值程序的正依赖图中最大的强连接组件。我们提供了一种动态规划算法来解决这个问题，并在遵守上述限制的情况下从 ASP 到 SAT 的树宽感知减少。我们改进了上面的结果并表明 ASP 的一致性问题可以在 k \cdot log({\lambda}) 的指数时间内解决，其中 {\lambda} 是树宽和最大强连接的大小之间的最小值程序的正依赖图中的组件。我们提供了一种动态规划算法来解决这个问题，并在遵守上述限制的情况下从 ASP 到 SAT 的树宽感知减少。我们改进了上面的结果并表明 ASP 的一致性问题可以在 k \cdot log({\lambda}) 的指数时间内解决，其中 {\lambda} 是树宽和最大强连接的大小之间的最小值程序的正依赖图中的组件。我们提供了一种动态规划算法来解决这个问题，并在遵守上述限制的情况下从 ASP 到 SAT 的树宽感知减少。