Suppose $P≔{\left(p_j\right)}_{j=1}^{\infty }$ is a sequence of distinct real numbers $p_j>0$. We prove that the equalities ${\Vert f\Vert }_p={\Vert g\Vert }_p,p\in P,$ imply $\mu \left(\{x\in E:\left|f\left(x\right)\right|<\alpha \}\right)=\mu \left(\{x\in E:\left|g\left(x\right)\right|<\alpha \}\right),\alpha \ge 0,$ whenever $0<\mu \left(E\right)<\infty$ and $f,g\in L_{\infty }\left(E\right)$ if and only if ${\sum }_{j=1}^{\infty }\frac{p_j}{p_j^2+1}=\infty$.

中文翻译：

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具有相同功能 ${\mathrm{大号}}_p$ 规范

假设 $P≔{（p_{Ĵ}）}_{Ĵ=\mathrm{1个}}^{\infty }$ 是不同实数的序列 $p_{Ĵ}>0$。我们证明平等${\Vert F\Vert }_p={\Vert G\Vert }_p，p\in P，$ 意味着 $\mu （\{X\in Ë：\left|F（X）\right|<\alpha \}）=\mu （\{X\in Ë：\left|G（X）\right|<\alpha \}），\alpha \ge 0，$ 每当 $0<\mu （Ë）<\infty$ 和 $F，G\in {\mathrm{大号}}_{\infty }（Ë）$ 当且仅当 ${\sum }_{Ĵ=\mathrm{1个}}^{\infty }\frac{p_{Ĵ}}{p_{Ĵ}^2+\mathrm{1个}}=\infty$。