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A Weighted Randomized Kaczmarz Method for Solving Linear Systems
arXiv - CS - Numerical Analysis Pub Date : 2020-07-06 , DOI: arxiv-2007.02910 Stefan Steinerberger
arXiv - CS - Numerical Analysis Pub Date : 2020-07-06 , DOI: arxiv-2007.02910 Stefan Steinerberger
The Kaczmarz method for solving a linear system $Ax = b$ interprets such a
system as a collection of equations $\left\langle a_i, x\right\rangle = b_i$,
where $a_i$ is the $i-$th row of $A$, then picks such an equation and corrects
$x_{k+1} = x_k + \lambda a_i$ where $\lambda$ is chosen so that the $i-$th
equation is satisfied. Convergence rates are difficult to establish. Assuming
the rows to be normalized, $\|a_i\|_{\ell^2}=1$, Strohmer \& Vershynin
established that if the order of equations is chosen at random, $\mathbb{E}~
\|x_k - x\|_{\ell^2}$ converges exponentially. We prove that if the $i-$th row
is selected with likelihood proportional to $\left|\left\langle a_i, x_k
\right\rangle - b_i\right|^{p}$, where $0
中文翻译：
求解线性系统的加权随机 Kaczmarz 方法
求解线性系统 $Ax = b$ 的 Kaczmarz 方法将此类系统解释为方程 $\left\langle a_i, x\right\rangle = b_i$ 的集合，其中 $a_i$ 是第 $i-$ 行$A$，然后选择这样一个方程并修正 $x_{k+1} = x_k + \lambda a_i$ 其中选择 $\lambda$ 以便满足 $i-$th 方程。收敛率很难确定。假设行要归一化，$\|a_i\|_{\ell^2}=1$，Strohmer \& Vershynin 确定，如果方程的顺序是随机选择的，$\mathbb{E}~ \|x_k - x\|_{\ell^2}$ 呈指数收敛。我们证明，如果以与 $\left|\left\langle a_i, x_k \right\rangle - b_i\right|^{p}$ 成正比的似然率选择第 $i-$ 行，其中 $0
更新日期：2020-07-09
中文翻译：
求解线性系统的加权随机 Kaczmarz 方法
求解线性系统 $Ax = b$ 的 Kaczmarz 方法将此类系统解释为方程 $\left\langle a_i, x\right\rangle = b_i$ 的集合，其中 $a_i$ 是第 $i-$ 行$A$，然后选择这样一个方程并修正 $x_{k+1} = x_k + \lambda a_i$ 其中选择 $\lambda$ 以便满足 $i-$th 方程。收敛率很难确定。假设行要归一化，$\|a_i\|_{\ell^2}=1$，Strohmer \& Vershynin 确定，如果方程的顺序是随机选择的，$\mathbb{E}~ \|x_k - x\|_{\ell^2}$ 呈指数收敛。我们证明，如果以与 $\left|\left\langle a_i, x_k \right\rangle - b_i\right|^{p}$ 成正比的似然率选择第 $i-$ 行，其中 $0
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