We present fast numerical methods for computing the Hessenberg reduction of a unitary plus low-rank matrix $A=G+U V^H$, where $G\in \mathbb C^{n\times n}$ is a unitary matrix represented in some compressed format using $O(nk)$ parameters and $U$ and $V$ are $n\times k$ matrices with $k< n$. At the core of these methods is a certain structured decomposition, referred to as a LFR decomposition, of $A$ as product of three possibly perturbed unitary $k$ Hessenberg matrices of size $n$. It is shown that in most interesting cases an initial LFR decomposition of $A$ can be computed very cheaply. Then we prove structural properties of LFR decompositions by giving conditions under which the LFR decomposition of $A$ implies its Hessenberg shape. Finally, we describe a bulge chasing scheme for converting the initial LFR decomposition of $A$ into the LFR decomposition of a Hessenberg matrix by means of unitary transformations. The reduction can be performed at the overall computational cost of $O(n^2 k)$ arithmetic operations using $O(nk)$ storage. The computed LFR decomposition of the Hessenberg reduction of $A$ can be processed by the fast QR algorithm presented in [8] in order to compute the eigenvalues of $A$ within the same costs.

中文翻译：

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将压缩酉加低秩矩阵有效归约为 Hessenberg 形式

我们提出了用于计算酉加低秩矩阵 $A=G+UV^H$ 的 Hessenberg 约简的快速数值方法，其中 $G\in \mathbb C^{n\times n}$ 是表示在一些使用 $O(nk)$ 参数和 $U$ 和 $V$ 的压缩格式是 $n\times k$ 矩阵，其中 $k< n$。这些方法的核心是某种结构化分解，称为 LFR 分解，将 $A$ 作为三个大小为 $n$ 的可能扰动的酉 $k$ Hessenberg 矩阵的乘积。结果表明，在大多数有趣的情况下，$A$ 的初始 LFR 分解的计算成本非常低。然后我们通过给出 $A$ 的 LFR 分解暗示其 Hessenberg 形状的条件来证明 LFR 分解的结构性质。最后，我们描述了一种通过酉变换将 $A$ 的初始 LFR 分解转换为 Hessenberg 矩阵的 LFR 分解的 bulge chasing 方案。可以使用 $O(nk)$ 存储以 $O(n^2 k)$ 算术运算的总体计算成本执行减少。计算出的 A$ 的 Hessenberg 约简的 LFR 分解可以通过 [8] 中介绍的快速 QR 算法进行处理，以便在相同成本内计算 $A$ 的特征值。