Let $G$ be a simple graph on the vertex set $[n]$ and $J_G$ be the corresponding binomial edge ideal. Let $G=v*H$ be the cone of $v$ on $H$. In this article, we compute all the Betti numbers of $J_G$ in terms of Betti number of $J_H$ and as a consequence, we get the Betti diagram of wheel graph. Also, we study Cohen-Macaulay defect of $S/J_G$ in terms of Cohen-Macaulay defect of $S_H/J_H$ and using this we construct a graph with Cohen-Macaulay defect $q$ for any $q\geq 1$. We obtain the depth of binomial edge ideal of join of graphs. Also, we prove that for any pair $(r,b)$ of positive integers with $1\leq b< r$, there exists a connected graph $G$ such that $reg(S/J_G)=r$ and the number of extremal Betti number of $S/J_G$ is $b$.

中文翻译：

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二项式边理想的深度和极值 Betti 数

令 $G$ 是顶点集 $[n]$ 上的一个简单图，$J_G$ 是相应的二项式边理想。令 $G=v*H$ 是 $v$ 在 $H$ 上的锥体。在本文中，我们根据 $J_H$ 的 Betti 数计算 $J_G$ 的所有 Betti 数，从而得到轮图的 Betti 图。此外，我们根据 $S_H/J_H$ 的 Cohen-Macaulay 缺陷来研究 $S/J_G$ 的 Cohen-Macaulay 缺陷，并使用它构建一个带有 Cohen-Macaulay 缺陷 $q$ 的图，用于任何 $q\geq 1$ . 我们获得了图连接的二项式边理想的深度。此外，我们证明对于任何一对 $(r,b)$ 且 $1\leq b< r$ 的正整数，存在一个连通图 $G$，使得 $reg(S/J_G)=r$ 和数$S/J_G$ 的极值 Betti 数是 $b$。