We present a method for computing A-optimal sensor placements for infinite-dimensional Bayesian linear inverse problems governed by PDEs with irreducible model uncertainties. Here, irreducible uncertainties refers to uncertainties in the model that exist in addition to the parameters in the inverse problem, and that cannot be reduced through observations. Specifically, given a statistical distribution for the model uncertainties, we compute the optimal design that minimizes the expected value of the posterior covariance trace. The expected value is discretized using Monte Carlo leading to an objective function consisting of a sum of trace operators and a binary-inducing penalty. Minimization of this objective requires a large number of PDE solves in each step. To make this problem computationally tractable, we construct a composite low-rank basis using a randomized range finder algorithm to eliminate forward and adjoint PDE solves. We also present a novel formulation of the A-optimal design objective that requires the trace of an operator in the observation rather than the parameter space. The binary structure is enforced using a weighted regularized $\ell_0$-sparsification approach. We present numerical results for inference of the initial condition in a subsurface flow problem with inherent uncertainty in the flow fields and in the initial times.

中文翻译：

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由偏微分方程控制的线性逆问题在不可约不确定性下的优化实验设计

我们提出了一种计算 A 最优传感器放置的方法，用于由具有不可约模型不确定性的 PDE 控制的无限维贝叶斯线性逆问题。这里，不可约的不确定性是指模型中除逆问题中的参数外还存在的、不能通过观测减少的不确定性。具体来说，给定模型不确定性的统计分布，我们计算使后验协方差轨迹的预期值最小化的最佳设计。期望值使用蒙特卡罗离散化，导致目标函数由跟踪运算符的总和和二元诱导惩罚组成。最小化这个目标需要在每一步中进行大量的 PDE 求解。为了使这个问题在计算上易于处理，我们使用随机测距算法构建复合低秩基以消除前向和伴随 PDE 求解。我们还提出了 A 最优设计目标的新公式，它需要观察中的算子轨迹而不是参数空间。使用加权正则化 $\ell_0$-sparsification 方法强制执行二进制结构。我们提供了数值结果，用于推断地下流动问题中的初始条件，其中流场和初始时间具有固有的不确定性。使用加权正则化 $\ell_0$-sparsification 方法强制执行二进制结构。我们提供了数值结果，用于推断地下流动问题中的初始条件，其中流场和初始时间具有固有的不确定性。使用加权正则化 $\ell_0$-sparsification 方法强制执行二进制结构。我们提供了数值结果，用于推断地下流动问题中的初始条件，其中流场和初始时间具有固有的不确定性。