For an arbitrary set X and an equivalence relation $$\mu$$ μ on X , denote by $$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) the semigroup of partial transformations $$\alpha$$ α on X such that $$x\mu \subseteq x(\ker (\alpha ))$$ x μ ⊆ x ( ker ( α ) ) for every $$x\in {{\,\mathrm{dom}\,}}(\alpha )$$ x ∈ dom ( α ) , and the image of $$\alpha$$ α is a partial transversal of $$\mu$$ μ . Every transversal K of $$\mu$$ μ defines a subgroup $$G=G_{K}$$ G = G K of $$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) . We study subsemigroups $$\langle G,U\rangle$$ ⟨ G , U ⟩ of $$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) generated by $$G\cup U$$ G ∪ U , where U is any set of elements of $$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) of rank less than $$|X/\mu |$$ | X / μ | . We show that each $$\langle G,U\rangle$$ ⟨ G , U ⟩ is a regular semigroup, describe Green’s relations and ideals in $$\langle G,U\rangle$$ ⟨ G , U ⟩ , and determine when $$\langle G,U\rangle$$ ⟨ G , U ⟩ is an inverse semigroup and when it is a completely regular semigroup. For a finite set X , the top $$\mathcal {J}$$ J -class J of $$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) is a right group. We find formulas for the ranks of the semigroups J , $$G\cup I$$ G ∪ I , $$J\cup I$$ J ∪ I , and I , where I is any proper ideal of $$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) .

中文翻译：

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具有等价约束的核和图像的部分变换的半群

对于任意集合 X 和 X 上的等价关系 $$\mu$$ μ，用 $$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) 表示 X 上的部分变换 $$\alpha$$ α 的半群使得 $$x\mu \subseteq x(\ker (\alpha ))$$ x μ ⊆ x ( ker ( α ) ) 对于每个 $$x\in {{\,\mathrm{dom}\,}} (\alpha )$$ x ∈ dom ( α ) ，$$\alpha$$ α 的图像是 $$\mu$$ μ 的部分横断面。$$\mu$$ μ 的每个横向 K 定义一个子群 $$G=G_{K}$$ G = $$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) 的 GK 。我们研究由 $$G\cup U$$ G ∪ U 生成的 $$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) 的子半群 $$\lange G,U\rangle$$ ⟨ G , U ⟩ ，其中U 是 $$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) 的秩小于 $$|X/\mu |$$ | 的任何元素集合 X/μ| . 我们证明每一个 $$\langle G,U\rangle$$ ⟨ G , U ⟩ 是一个正则半群，在 $$\langle G,U\rangle$$ ⟨ G , U ⟩ 中描述格林的关系和理想，并确定何时 $$\langle G,U\rangle$$ ⟨ G , U ⟩ 是逆半群，何时是完全正则半群。对于有限集 X ，$$P_\mu (X)$$ P μ ( X ) 的顶部 $$\mathcal {J}$$ J -class J 是一个正确的群。我们找到半群 J 、 $$G\cup I$$ G ∪ I 、 $$J\cup I$$ J ∪ I 和 I 的秩的公式，其中 I 是 $$P_\mu 的任意理想理想(X)$$P μ ( X ) 。