The precise set of parameters governing the transition to turbulence in wall-bounded shear flows remains an open question; many theoretical bounds have been obtained, but there is not yet a consensus between these bounds and experimental/simulation results. In this work, we focus on a method to provide a provable Reynolds number dependent bound on the amplitude of perturbations a flow can sustain while maintaining the laminar state. Our analysis relies on an input--output approach that partitions the dynamics into a feedback interconnection of the linear and nonlinear dynamics (i.e., a Lur\'e system that represents the nonlinearity as static feedback). We then construct quadratic constraints of the nonlinear term that is restricted by system physics to be energy-conserving (lossless) and to have bounded input--output energy. Computing the region of attraction of the laminar state (set of safe perturbations) and permissible perturbation amplitude are then reformulated as Linear Matrix Inequalities (LMI), which provides a more computationally efficient solution than prevailing nonlinear approaches based on the sum of squares programming. The proposed framework can also be used for energy method computations and linear stability analysis. We apply our approach to low dimensional nonlinear shear flow models for a range of Reynolds numbers. The results from our analytically derived bounds are consistent with the bounds identified through exhaustive simulations. However, they have the added benefit of being achieved at a much lower computational cost and providing a provable guarantee that a certain level of perturbation is permissible.

中文翻译：

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过渡壁界剪切流容许扰动幅度的输入输出启发方法

控制壁面剪切流中向湍流过渡的精确参数集仍然是一个悬而未决的问题。已经获得了许多理论界限，但这些界限与实验/模拟结果之间尚未达成共识。在这项工作中，我们专注于提供一种可证明的雷诺数的方法，该雷诺数取决于流动在保持层流状态的同时可以维持的扰动幅度。我们的分析依赖于输入-输出方法，该方法将动态划分为线性和非线性动态的反馈互连（即，将非线性表示为静态反馈的 Lur\'e 系统）。然后，我们构造非线性项的二次约束，该非线性项受系统物理学限制为能量守恒（无损）并且具有有界输入-输出能量。计算层流状态的吸引区域（一组安全扰动）和允许的扰动幅度然后被重新表述为线性矩阵不等式 (LMI)，它提供了比基于平方和编程的流行非线性方法更有效的计算解决方案。所提出的框架还可用于能量方法计算和线性稳定性分析。我们将我们的方法应用于一系列雷诺数的低维非线性剪切流模型。我们分析得出的界限的结果与通过详尽模拟确定的界限一致。然而，它们具有额外的好处，即以低得多的计算成本实现并提供可证明的保证，即允许一定程度的扰动。与基于平方和规划的流行非线性方法相比，它提供了计算效率更高的解决方案。所提出的框架还可用于能量方法计算和线性稳定性分析。我们将我们的方法应用于一系列雷诺数的低维非线性剪切流模型。我们分析得出的界限的结果与通过详尽模拟确定的界限一致。然而，它们具有额外的好处，即以低得多的计算成本实现，并提供可证明的保证，允许一定程度的扰动。与基于平方和规划的流行非线性方法相比，它提供了计算效率更高的解决方案。所提出的框架还可用于能量方法计算和线性稳定性分析。我们将我们的方法应用于一系列雷诺数的低维非线性剪切流模型。我们分析得出的界限的结果与通过详尽模拟确定的界限一致。然而，它们具有额外的好处，即以低得多的计算成本实现，并提供可证明的保证，允许一定程度的扰动。我们将我们的方法应用于一系列雷诺数的低维非线性剪切流模型。我们分析得出的界限的结果与通过详尽模拟确定的界限一致。然而，它们具有额外的好处，即以低得多的计算成本实现，并提供可证明的保证，允许一定程度的扰动。我们将我们的方法应用于一系列雷诺数的低维非线性剪切流模型。我们分析得出的界限的结果与通过详尽模拟确定的界限一致。然而，它们具有额外的好处，即以低得多的计算成本实现，并提供可证明的保证，允许一定程度的扰动。