An $(n, k, d, \alpha)$-MSR (minimum storage regeneration) code is a set of $n$ nodes used to store a file. For a file of total size $k\alpha$, each node stores $\alpha$ symbols, any $k$ nodes recover the file, and any $d$ nodes can repair any other node via each sending out $\alpha/(d-k+1)$ symbols. In this work, we explore various ways to re-express the infamous product-matrix construction using skew-symmetric matrices, polynomials, symmetric algebras, and exterior algebras. We then introduce a multilinear algebra foundation to produce $\bigl(n, k, \frac{(k-1)t}{t-1}, \binom{k-1}{t-1}\bigr)$-MSR codes for general $t\geq2$. At the $t=2$ end, they include the product-matrix construction as a special case. At the $t=k$ end, we recover determinant codes of mode $m=k$; further restriction to $n=k+1$ makes it identical to the layered code at the MSR point. Our codes' sub-packetization level---$\alpha$---is independent of $n$ and small. It is less than $L^{2.8(d-k+1)}$, where $L$ is Alrabiah--Guruswami's lower bound on $\alpha$. Furthermore, it is less than other MSR codes' $\alpha$ for a subset of practical parameters. We offer hints on how our code repairs multiple failures at once.

中文翻译：

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最小存储再生码的多线性代数

$(n, k, d, \alpha)$-MSR（最小存储再生）代码是一组用于存储文件的 $n$ 节点。对于总大小为 $k\alpha$ 的文件，每个节点存储 $\alpha$ 符号，任何 $k$ 节点恢复文件，任何 $d$ 节点可以通过每次发送 $\alpha/( d-k+1)$ 符号。在这项工作中，我们探索了使用偏对称矩阵、多项式、对称代数和外部代数重新表达臭名昭著的乘积矩阵构造的各种方法。然后我们引入一个多元线性代数基础来产生 $\bigl(n, k, \frac{(k-1)t}{t-1}, \binom{k-1}{t-1}\bigr)$-一般 $t\geq2$ 的 MSR 代码。在 $t=2$ 末尾，它们包括作为特殊情况的乘积矩阵构造。在 $t=k$ 端，我们恢复了模式 $m=k$ 的行列式代码；对 $n=k+1$ 的进一步限制使其与 MSR 点的分层代码相同。我们代码的子包化级别---$\alpha$---独立于$n$并且很小。它小于 $L^{2.8(d-k+1)}$，其中 $L$ 是 Alrabiah--Guruswami 对 $\alpha$ 的下界。此外，对于实际参数的子集，它小于其他 MSR 代码的 $\alpha$。我们提供有关我们的代码如何一次修复多个故障的提示。