This paper considers the multi-group multicast beamforming optimization problem, for which the optimal solution has been unknown due to the non-convex and NP-hard nature of the problem. By utilizing the successive convex approximation numerical method and Lagrangian duality, we obtain the optimal multicast beamforming solution structure for both the quality-of-service (QoS) problem and the max-min fair (MMF) problem. The optimal structure brings valuable insights into multicast beamforming: We show that the notion of uplink-downlink duality can be generalized to the multicast beamforming problem. The optimal multicast beamformer is a weighted MMSE filter based on a group-channel direction: a generalized version of the optimal downlink multi-user unicast beamformer. We also show that there is an inherent low-dimensional structure in the optimal multicast beamforming solution independent of the number of transmit antennas, leading to efficient numerical algorithm design, especially for systems with large antenna arrays. We propose efficient algorithms to compute the multicast beamformer based on the optimal beamforming structure. Through asymptotic analysis, we characterize the asymptotic behavior of the multicast beamformers as the number of antennas grows, and in turn, provide simple closed-form approximate multicast beamformers for both the QoS and MMF problems. This approximation offers practical multicast beamforming solutions with a near-optimal performance at very low computational complexity for large-scale antenna systems.

中文翻译：

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多组组播波束成形：优化结构和高效算法

本文考虑了多组多播波束成形优化问题，由于问题的非凸性和 NP-hard 性质，该问题的最优解一直未知。通过利用逐次凸逼近数值方法和拉格朗日对偶，我们获得了服务质量（QoS）问题和最大最小公平（MMF）问题的最优多播波束成形解决方案结构。最优结构为多播波束成形带来了宝贵的见解：我们表明，上行-下行链路二元性的概念可以推广到多播波束成形问题。最优多播波束成形器是基于组信道方向的加权 MMSE 滤波器：最优下行链路多用户单播波束成形器的通用版本。我们还表明，在与发射天线数量无关的最佳多播波束成形解决方案中存在固有的低维结构，从而导致有效的数值算法设计，尤其是对于具有大型天线阵列的系统。我们提出了基于最佳波束成形结构计算多播波束成形器的有效算法。通过渐近分析，随着天线数量的增加，我们表征了多播波束成形器的渐近行为，进而为 QoS 和 MMF 问题提供了简单的封闭形式的近似多播波束成形器。这种近似提供了实用的多播波束成形解决方案，在非常低的计算复杂度下为大规模天线系统提供了接近最佳的性能。导致有效的数值算法设计，特别是对于具有大型天线阵列的系统。我们提出了基于最佳波束成形结构计算多播波束成形器的有效算法。通过渐近分析，我们表征了随着天线数量的增加多播波束成形器的渐近行为，进而为 QoS 和 MMF 问题提供了简单的封闭形式的近似多播波束成形器。这种近似提供了实用的多播波束成形解决方案，在非常低的计算复杂度下为大规模天线系统提供了接近最佳的性能。导致有效的数值算法设计，特别是对于具有大型天线阵列的系统。我们提出了基于最佳波束成形结构计算多播波束成形器的有效算法。通过渐近分析，随着天线数量的增加，我们表征了多播波束成形器的渐近行为，进而为 QoS 和 MMF 问题提供了简单的封闭形式的近似多播波束成形器。这种近似提供了实用的多播波束成形解决方案，在非常低的计算复杂度下为大规模天线系统提供了接近最佳的性能。随着天线数量的增加，我们表征了多播波束成形器的渐近行为，进而为 QoS 和 MMF 问题提供了简单的封闭形式的近似多播波束成形器。这种近似提供了实用的多播波束成形解决方案，在非常低的计算复杂度下为大规模天线系统提供了接近最佳的性能。随着天线数量的增加，我们表征了多播波束成形器的渐近行为，进而为 QoS 和 MMF 问题提供了简单的封闭形式的近似多播波束成形器。这种近似提供了实用的多播波束成形解决方案，在非常低的计算复杂度下为大规模天线系统提供了接近最佳的性能。