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The Number of Repetitions in 2D-Strings
arXiv - CS - Discrete Mathematics Pub Date : 2020-06-29 , DOI: arxiv-2006.15999 Panagiotis Charalampopoulos, Jakub Radoszewski, Wojciech Rytter, Tomasz Wale\'n, Wiktor Zuba
arXiv - CS - Discrete Mathematics Pub Date : 2020-06-29 , DOI: arxiv-2006.15999 Panagiotis Charalampopoulos, Jakub Radoszewski, Wojciech Rytter, Tomasz Wale\'n, Wiktor Zuba
The notions of periodicity and repetitions in strings, and hence these of
runs and squares, naturally extend to two-dimensional strings. We consider two
types of repetitions in 2D-strings: 2D-runs and quartics (quartics are a
2D-version of squares in standard strings). Amir et al. introduced 2D-runs,
showed that there are $O(n^3)$ of them in an $n \times n$ 2D-string and
presented a simple construction giving a lower bound of $\Omega(n^2)$ for their
number (TCS 2020). We make a significant step towards closing the gap between
these bounds by showing that the number of 2D-runs in an $n \times n$ 2D-string
is $O(n^2 \log^2 n)$. In particular, our bound implies that the $O(n^2\log n +
\textsf{output})$ run-time of the algorithm of Amir et al. for computing
2D-runs is also $O(n^2 \log^2 n)$. We expect this result to allow for
exploiting 2D-runs algorithmically in the area of 2D pattern matching. A quartic is a 2D-string composed of $2 \times 2$ identical blocks
(2D-strings) that was introduced by Apostolico and Brimkov (TCS 2000), where by
quartics they meant only primitively rooted quartics, i.e. built of a primitive
block. Here our notion of quartics is more general and analogous to that of
squares in 1D-strings. Apostolico and Brimkov showed that there are $O(n^2
\log^2 n)$ occurrences of primitively rooted quartics in an $n \times n$
2D-string and that this bound is attainable. Consequently the number of
distinct primitively rooted quartics is $O(n^2 \log^2 n)$. Here, we prove that
the number of distinct general quartics is also $O(n^2 \log^2 n)$. This extends
the rich combinatorial study of the number of distinct squares in a 1D-string,
that was initiated by Fraenkel and Simpson (J. Comb. Theory A 1998), to two
dimensions. Finally, we show some algorithmic applications of 2D-runs. (Abstract
shortened due to arXiv requirements.)
中文翻译:
二维字符串中的重复次数
字符串中的周期性和重复的概念,以及这些游程和平方的概念,自然地扩展到二维字符串。我们考虑二维字符串中的两种类型的重复:二维运行和四次(四次是标准字符串中正方形的二维版本)。阿米尔等人。引入了二维运行,表明在 $n \times n$ 二维字符串中有 $O(n^3)$,并提出了一个简单的构造,给出了 $\Omega(n^2)$ 的下界他们的编号(TCS 2020)。我们通过证明 $n \times n$ 二维字符串中的二维运行次数为 $O(n^2 \log^2 n)$,朝着缩小这些界限之间的差距迈出了重要的一步。特别是,我们的界限意味着 Amir 等人的算法的 $O(n^2\log n + \textsf{output})$ 运行时间。用于计算 2D 运行也是 $O(n^2 \log^2 n)$。我们希望这个结果允许在 2D 模式匹配领域在算法上利用 2D 运行。四次是由 Apostolico 和 Brimkov (TCS 2000) 引入的由 $2 \times 2$ 相同块(二维字符串)组成的二维字符串,其中四次它们仅表示原始根四次,即由原始块构建。这里我们的四次方程的概念更一般,类似于一维弦中的平方。Apostolico 和 Brimkov 表明,在 $n \times n$ 二维字符串中有 $O(n^2 \log^2 n)$ 个原始根四次出现,并且这个界限是可以达到的。因此,不同的原始根四次方程的数量是 $O(n^2 \log^2 n)$。在这里,我们证明不同的一般四次方程的数量也是 $O(n^2 \log^2 n)$。这将由 Fraenkel 和 Simpson (J. Comb. Theory A 1998) 发起的对一维弦中不同正方形数量的丰富组合研究扩展到二维。最后,我们展示了 2D 运行的一些算法应用。(由于 arXiv 要求,摘要已缩短。)
更新日期:2020-06-30
中文翻译:
二维字符串中的重复次数
字符串中的周期性和重复的概念,以及这些游程和平方的概念,自然地扩展到二维字符串。我们考虑二维字符串中的两种类型的重复:二维运行和四次(四次是标准字符串中正方形的二维版本)。阿米尔等人。引入了二维运行,表明在 $n \times n$ 二维字符串中有 $O(n^3)$,并提出了一个简单的构造,给出了 $\Omega(n^2)$ 的下界他们的编号(TCS 2020)。我们通过证明 $n \times n$ 二维字符串中的二维运行次数为 $O(n^2 \log^2 n)$,朝着缩小这些界限之间的差距迈出了重要的一步。特别是,我们的界限意味着 Amir 等人的算法的 $O(n^2\log n + \textsf{output})$ 运行时间。用于计算 2D 运行也是 $O(n^2 \log^2 n)$。我们希望这个结果允许在 2D 模式匹配领域在算法上利用 2D 运行。四次是由 Apostolico 和 Brimkov (TCS 2000) 引入的由 $2 \times 2$ 相同块(二维字符串)组成的二维字符串,其中四次它们仅表示原始根四次,即由原始块构建。这里我们的四次方程的概念更一般,类似于一维弦中的平方。Apostolico 和 Brimkov 表明,在 $n \times n$ 二维字符串中有 $O(n^2 \log^2 n)$ 个原始根四次出现,并且这个界限是可以达到的。因此,不同的原始根四次方程的数量是 $O(n^2 \log^2 n)$。在这里,我们证明不同的一般四次方程的数量也是 $O(n^2 \log^2 n)$。这将由 Fraenkel 和 Simpson (J. Comb. Theory A 1998) 发起的对一维弦中不同正方形数量的丰富组合研究扩展到二维。最后,我们展示了 2D 运行的一些算法应用。(由于 arXiv 要求,摘要已缩短。)