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Gaussian Lower Bounds for the Boltzmann Equation without Cutoff
SIAM Journal on Mathematical Analysis ( IF 2.2 ) Pub Date : 2020-06-17 , DOI: 10.1137/19m1252375 Cyril Imbert , Clément Mouhot , Luis Silvestre
SIAM Journal on Mathematical Analysis ( IF 2.2 ) Pub Date : 2020-06-17 , DOI: 10.1137/19m1252375 Cyril Imbert , Clément Mouhot , Luis Silvestre
SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 52, Issue 3, Page 2930-2944, January 2020.
The study of positivity of solutions to the Boltzmann equation goes back to [T. Carleman, Acta Math., 60 (1933), pp. 91--146], and the initial argument of Carleman was developed in [A. Pulvirenti and B. Wennberg, Comm. Math. Phys., 183 (1997), pp. 145--160; C. Mouhot, Comm. Partial Differential Equations, 30 (2005), pp. 881--917; M. Briant, Arch. Ration. Mech. Anal., 218 (2015), pp. 985--1041; M. Briant, Kinet. Relat. Models, 8 (2015), pp. 281--308] but the appearance of a lower bound with Gaussian decay had remained an open question for long-range interactions (the so-called noncutoff collision kernels). We answer this question and establish such a Gaussian lower bound for solutions to the Boltzmann equation without cutoff, in the case of hard and moderately soft potentials, with spatial periodic conditions, and under the sole assumption that hydrodynamic quantities (local mass, local energy, and local entropy density) remain bounded. The paper is mostly self-contained, apart from the $L^\infty$ upper bound and weak Harnack inequality on the solution established, respectively in [L. Silvestre, Comm. Math. Phys., 348 (2016), pp. 69--100; C. Imbert, C. Mouhot, and L. Silvestre, J. Éc. polytech. Math., 7 (2020), pp. 143--184.; C. Imbert and L. Silvestre, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 22 (2020), pp. 507--592].
中文翻译：
无截止的玻尔兹曼方程的高斯下界
SIAM数学分析杂志，第52卷，第3期，第2930-2944页，2020年1月。
关于玻耳兹曼方程解的正性的研究可以追溯到[T．Carleman，Acta Math。，60（1933），第91--146页]，而Carleman的最初论点是在[A. Pulvirenti和B.Wennberg，通讯。数学。物理学报，183（1997），第145--160页; C. Mouhot，通讯。偏微分方程，30（2005），881--917页; M. Briant，拱门。配给。机甲 Anal。，218（2015），第985--1041页; 布赖恩特先生，基内特。相关。模型，8（2015），第281--308页]，但高斯衰变下界的出现仍然是长距离相互作用（所谓的非截止碰撞核）的一个悬而未决的问题。我们回答这个问题，并建立高斯下界，以解决不带边界的玻尔兹曼方程的解，在具有空间周期性条件的硬势和中等软势的情况下，在唯一的假设下，流体动力量（局部质量，局部能量和局部熵密度）仍然有限。除了[L. \ infty $]的上限和分别在[L. 西尔维斯特（Silvestre），通讯。数学。Phys.348（2016），第69--100页; C. Imbert，C。Mouhot和L.Silvestre，J。Éc。理工学院 Math。，7（2020），第143--184页; C. Imbert和L. Silvestre，J。Eur。数学。Soc。（JEMS），22（2020），第507--592页]。Math。，7（2020），第143--184页; C. Imbert和L. Silvestre，J。Eur。数学。Soc。（JEMS），22（2020），第507--592页。Math。，7（2020），第143--184页; C. Imbert和L. Silvestre，J。Eur。数学。Soc。（JEMS），22（2020），第507--592页。
更新日期：2020-06-30
The study of positivity of solutions to the Boltzmann equation goes back to [T. Carleman, Acta Math., 60 (1933), pp. 91--146], and the initial argument of Carleman was developed in [A. Pulvirenti and B. Wennberg, Comm. Math. Phys., 183 (1997), pp. 145--160; C. Mouhot, Comm. Partial Differential Equations, 30 (2005), pp. 881--917; M. Briant, Arch. Ration. Mech. Anal., 218 (2015), pp. 985--1041; M. Briant, Kinet. Relat. Models, 8 (2015), pp. 281--308] but the appearance of a lower bound with Gaussian decay had remained an open question for long-range interactions (the so-called noncutoff collision kernels). We answer this question and establish such a Gaussian lower bound for solutions to the Boltzmann equation without cutoff, in the case of hard and moderately soft potentials, with spatial periodic conditions, and under the sole assumption that hydrodynamic quantities (local mass, local energy, and local entropy density) remain bounded. The paper is mostly self-contained, apart from the $L^\infty$ upper bound and weak Harnack inequality on the solution established, respectively in [L. Silvestre, Comm. Math. Phys., 348 (2016), pp. 69--100; C. Imbert, C. Mouhot, and L. Silvestre, J. Éc. polytech. Math., 7 (2020), pp. 143--184.; C. Imbert and L. Silvestre, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 22 (2020), pp. 507--592].
中文翻译：
无截止的玻尔兹曼方程的高斯下界
SIAM数学分析杂志，第52卷，第3期，第2930-2944页，2020年1月。
关于玻耳兹曼方程解的正性的研究可以追溯到[T．Carleman，Acta Math。，60（1933），第91--146页]，而Carleman的最初论点是在[A. Pulvirenti和B.Wennberg，通讯。数学。物理学报，183（1997），第145--160页; C. Mouhot，通讯。偏微分方程，30（2005），881--917页; M. Briant，拱门。配给。机甲 Anal。，218（2015），第985--1041页; 布赖恩特先生，基内特。相关。模型，8（2015），第281--308页]，但高斯衰变下界的出现仍然是长距离相互作用（所谓的非截止碰撞核）的一个悬而未决的问题。我们回答这个问题，并建立高斯下界，以解决不带边界的玻尔兹曼方程的解，在具有空间周期性条件的硬势和中等软势的情况下，在唯一的假设下，流体动力量（局部质量，局部能量和局部熵密度）仍然有限。除了[L. \ infty $]的上限和分别在[L. 西尔维斯特（Silvestre），通讯。数学。Phys.348（2016），第69--100页; C. Imbert，C。Mouhot和L.Silvestre，J。Éc。理工学院 Math。，7（2020），第143--184页; C. Imbert和L. Silvestre，J。Eur。数学。Soc。（JEMS），22（2020），第507--592页]。Math。，7（2020），第143--184页; C. Imbert和L. Silvestre，J。Eur。数学。Soc。（JEMS），22（2020），第507--592页。Math。，7（2020），第143--184页; C. Imbert和L. Silvestre，J。Eur。数学。Soc。（JEMS），22（2020），第507--592页。
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