SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 34, Issue 1, Page 865-884, January 2020.
Mömke and Svensson presented a beautiful new approach for the traveling salesman problem on a graph metric (graph-TSP), which yields a 4/3-approximation guarantee on subcubic graphs as well as a substantial improvement over the 3/2-approximation guarantee of Christofides's algorithm on general graphs. The crux of their approach is to compute an upper bound on the minimum cost of a circulation in a particular network, $C(G,T)$, where $G$ is the input graph and $T$ is a carefully chosen spanning tree. The cost of this circulation is directly related to the number of edges in a tour output by their algorithm. Mucha subsequently improved the analysis of the circulation cost, proving that Mömke and Svensson's algorithm for graph-TSP has an approximation ratio of at most $13/9$ on general graphs. This analysis of the circulation is local, and vertices with degree four or five can contribute the most to its cost. Thus, hypothetically, there could exist a subquartic graph (a graph with degree at most four at each vertex) for which Mucha's analysis of the Mömke--Svensson algorithm is tight. We show that this is not the case and that Mömke and Svensson's algorithm for graph-TSP has an approximation guarantee of at most 25/18 on subquartic graphs. To prove this, we present different methods to upper bound the minimum cost of a circulation on the network $C(G,T)$. Our approximation guarantee holds for all graphs that have an optimal solution to a standard linear programming relaxation of graph-TSP with subquartic support.

中文翻译：

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亚二次图上图TSP的Mömke-Svensson算法的改进分析

SIAM离散数学杂志，第34卷，第1期，第865-884页，2020年1月。
Mömke和Svensson为图形度量（graph-TSP）上的旅行推销员问题提出了一种漂亮的新方法，该方法可以在次三次图上产生4/3逼近保证，并且比3/2逼近保证显着改善。普通图上的Christofides算法。他们方法的症结在于计算特定网络$ C（G，T）$的最低流通成本的上限，其中$ G $是输入图，$ T $是精心选择的生成树。这种循环的成本直接取决于其算法在巡回输出中的边数。Mucha随后改进了流通成本的分析，证明了Mömke和Svensson的图TSP算法在一般图上的近似比率最高为$ 13/9 $。这种对流通的分析是局部的，而四或五度的顶点对其成本的贡献最大。因此，假设存在一个亚四次方图（每个顶点的度数最多为4的图），Mucha对Mömke-Svensson算法的分析非常严格。我们证明不是这种情况，Mömke和Svensson的图TSP算法在次二次图上的最大近似保证为25/18。为了证明这一点，我们提出了不同的方法来限制网络$ C（G，T）$上流通的最小成本。我们的近似保证适用于对具有次二次支持的图TSP的标准线性规划松弛具有最佳解决方案的所有图。可能存在一个亚四次方图（每个顶点上度数最多为4的图），对此，Mucha对Mömke-Svensson算法的分析非常严格。我们证明不是这种情况，Mömke和Svensson的图TSP算法在次二次图上的最大近似保证为25/18。为了证明这一点，我们提出了不同的方法来限制网络$ C（G，T）$上流通的最小成本。我们的近似保证适用于对具有次二次支持的图TSP的标准线性规划松弛具有最佳解决方案的所有图。可能存在一个亚四次方图（每个顶点上度数最多为4的图），对此，Mucha对Mömke-Svensson算法的分析非常严格。我们证明并非如此，Mömke和Svensson的图TSP算法在次二次图上的近似保证最大为25/18。为了证明这一点，我们提出了不同的方法来限制网络$ C（G，T）$上流通的最小成本。我们的近似保证适用于对具有次二次支持的图TSP的标准线性规划松弛具有最佳解决方案的所有图。为了证明这一点，我们提出了不同的方法来限制网络$ C（G，T）$上流通的最小成本。我们的近似保证适用于对具有次二次支持的图TSP的标准线性规划松弛具有最佳解决方案的所有图。为了证明这一点，我们提出了不同的方法来限制网络$ C（G，T）$上流通的最小成本。我们的近似保证适用于所有对具有次二次支持的图TSP的标准线性规划松弛具有最佳解决方案的图。