SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 34, Issue 1, Page 794-824, January 2020.
What is the chance that among a group of $n$ friends, there are $s$ friends all of whom have the same birthday? This is the celebrated birthday problem which can be formulated as the existence of a monochromatic $s$-clique $K_s$ ($s$-matching birthdays) in the complete graph $K_n$, where every vertex of $K_n$ is uniformly colored with 365 colors (corresponding to birthdays). More generally, for a general connected graph $H$, let $T(H, G_n)$ be the number of monochromatic copies of $H$ in a uniformly random coloring of the vertices of the graph $G_n$ with $c_n$ colors. In this paper we show that $T(H, G_n)$ converges to ${Pois}(\lambda)$ whenever $\mathbb{E} T(H, G_n) \rightarrow \lambda$ and ${Var} T(H, G_n) \rightarrow \lambda$, that is, the asymptotic Poisson distribution of $T(H, G_n)$ is determined just by the convergence of its mean and variance. Moreover, this condition is necessary if and only if $H$ is a star-graph. In fact, the second-moment phenomenon is a consequence of a more general theorem about the convergence of $T(H,G_n)$ to a finite linear combination of independent Poisson random variables. As an application, we derive the limiting distribution of $T(H, G_n)$, when $G_n\sim G(n, p)$ is the Erdös--Rényi random graph. Multiple phase transitions emerge as $p$ varies from 0 to 1, depending on whether the graph $H$ is balanced or unbalanced.

中文翻译：

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单色子图的第二矩现象

SIAM离散数学杂志，第34卷，第1期，第794-824页，2020年1月。
在一群$ n $朋友中，有$ s $朋友的生日都相同，这是什么机会？这是一个著名的生日问题，可以用完整的图形$ K_n $中存在单色的$ s $斜线$ K_s $（$ s $匹配生日）的形式表示，其中$ K_n $的每个顶点都均匀地着色365种颜色（对应于生日）。更一般地，对于一般的连通图$ H $，令$ T（H，G_n）$为图形$ G_n $的顶点均匀随机着色为$ c_n $的颜色时，$ H $的单色副本的数量。 。在本文中，我们证明了只要$ \ mathbb {E} T（H，G_n）\ rightarrow \ lambda $和$ {Var} T（$ {T（H，G_n）$}收敛到$ {Pois}（\ lambda）$ H，G_n）\ rightarrow \ lambda $，即$ T（H，的渐近泊松分布 G_n）$仅由其均值和方差的收敛确定。而且，仅当$ H $是星图时，此条件是必要的。实际上，第二矩现象是一个更普遍的定理的结果，该定理涉及将$ T（H，G_n）$收敛到独立泊松随机变量的有限线性组合。作为应用程序，当$ G_n \ sim G（n，p）$是Erdös-Rényi随机图时，我们导出$ T（H，G_n）$的极限分布。随着$ p $从0到1变化，出现多个相变，具体取决于图形$ H $是平衡的还是不平衡的。作为应用程序，当$ G_n \ sim G（n，p）$是Erdös-Rényi随机图时，我们导出$ T（H，G_n）$的极限分布。随着$ p $从0到1变化，出现多个相变，具体取决于图形$ H $是平衡的还是不平衡的。作为应用程序，当$ G_n \ sim G（n，p）$是Erdös-Rényi随机图时，我们导出$ T（H，G_n）$的极限分布。随着$ p $从0到1变化，出现多个相变，具体取决于图形$ H $是平衡的还是不平衡的。