SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 34, Issue 2, Page 1011-1038, January 2020.
The main theme of this paper is the enumeration of the order-isomorphic occurrence of a pattern in words and permutations. We mainly focus on asymptotic properties of the sequence $f_r^v(k,n),$ the number of $n$-array $k$-ary words that contain a given pattern $v$ exactly $r$ times. In addition, we study the asymptotic behavior of the random variable $X_n,$ the number of pattern occurrences in a random $n$-array word. The two topics are closely related through the identity $P(X_n=r) = $ $\frac{1}{k^n}f_r^v(k,n).$ In particular, we show that for any $r\geq 0,$ the Stanley--Wilf sequence $\bigl(f_r^v(k,n)\bigr)^{1/n}$ converges to a limit independent of $r,$ and we determine the value of the limit. We then obtain several limit theorems for the distribution of $X_n,$ including a central limit theorem, large deviation estimates, and the exact growth rate of the entropy of $X_n.$ Furthermore, we introduce a concept of weak avoidance and link it to a certain family of nonproduct measures on words that penalize pattern occurrences but do not forbid them entirely. We analyze this family of probability measures in a small parameter regime, where the distributions can be understood as a perturbation of a uniform measure. Finally, we extend some of our results for words, including the one regarding the equivalence of the limits of the Stanley--Wilf sequences, to pattern occurrences in permutations.

中文翻译：

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单词和排列中模式的有限自动机，概率方法和出现枚举

SIAM离散数学杂志，第34卷，第2期，第1011-1038页，2020年1月。
本文的主要主题是对单词和排列中模式的同构同顺序出现进行枚举。我们主要关注序列$ f_r ^ v（k，n），$包含给定模式$ v $的$ n $数组$ k $元数的渐近性质。另外，我们研究了随机变量$ X_n的渐近行为，$随机$ n $数组词中模式出现的次数。这两个主题通过标识$ P（X_n = r）= $ $ \ frac {1} {k ^ n} f_r ^ v（k，n）密切相关。特别是，我们证明了对于任何$ r \ geq 0，$ Stanley-Wilf序列$ \ bigl（f_r ^ v（k，n）\ bigr）^ {1 / n} $收敛到一个独立于$ r，$的极限，我们确定该极限的值。然后，我们获得$ X_n，$分布的几个极限定理，包括中心极限定理，大偏差估计，以及$ X_n。$熵的确切增长率。此外，我们引入了弱回避的概念，并将其与某些非产品量词系列联系起来，这些词对惩罚模式出现但不会完全禁止它们的单词使用。我们在一个小参数范围内分析了这种概率测度系列，其中的分布可以理解为对统一测度的扰动。最后，我们将一些词的结果扩展到包括排列中的模式出现在内的一些结果，包括关于Stanley-Wilf序列的极限等价的结果。我们在一个小参数范围内分析了这种概率测度系列，其中的分布可以理解为对统一测度的扰动。最后，我们将一些词的结果扩展到包括排列中的模式出现在内的一些结果，包括关于Stanley-Wilf序列的极限等价的结果。我们在一个小参数范围内分析了这种概率测度系列，其中的分布可以理解为对统一测度的扰动。最后，我们将一些词的结果扩展到包括排列中的模式出现在内的一些结果，包括关于Stanley-Wilf序列的极限等价的结果。