SIAM Journal on Control and Optimization, Volume 58, Issue 2, Page 755-786, January 2020.
We solve an infinite time-horizon bounded-variation stochastic control problem with regime switching between $N$ states. This is motivated by the problem of a government that wants to control the country's debt-to-GDP (gross domestic product) ratio. In our formulation, the debt-to-GDP ratio evolves stochastically in continuous time, and its drift---given by the interest rate on government debt, net of the growth rate of GDP---is affected by an exogenous macroeconomic risk process modelled by a continuous-time Markov chain with $N$ states. The government can act on the public debt by increasing or decreasing its level, and it aims at minimizing a net expected regime-dependent cost functional. Without relying on a guess-and-verify approach, but performing a direct probabilistic study, we show that it is optimal to keep the debt-to-GDP ratio in an interval, whose boundaries depend on the states of the risk process. These boundaries are given through a zero-sum optimal stopping game with regime switching with $N$ states and are characterized through a system of nonlinear algebraic equations with constraints. To the best of our knowledge, such a result appears here for the first time. Finally, we put in practice our methodology in a case study of a Markov chain with $N=2$ states; we provide a thorough analysis and we complement our theoretical results by a detailed numerical study on the sensitivity of the optimal debt ratio management policy with respect to the problem's parameters.

中文翻译：

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N美元-州体制转换经济中的债务与GDP比率的最优控制

SIAM控制与优化杂志，第58卷，第2期，第755-786页，2020年1月。
我们通过在$ N​​ $状态之间进行状态切换来解决无限时限界变随机控制问题。这是由于政府希望控制该国债务与GDP的比率问题而引起的。在我们的公式中，债务与GDP的比率在连续时间内随机变化，其漂移（由政府债务利率减去GDP增长率决定）受外部宏观经济风险过程的影响由具有$ N $状态的连续时间马尔可夫链建模。政府可以通过增加或减少其水平来对公共债务采取行动，其目的是最大程度地减少依赖于制度的净预期成本函数。无需依靠猜测和验证的方法，而是进行直接的概率研究，我们表明，最好将债务与GDP的比率保持一定的间隔，该间隔的边界取决于风险过程的状态。这些边界是通过零和最优停止博弈给出的，该博弈具有$ N $状态的状态切换，并通过带有约束的非线性代数方程组来表征。据我们所知，这种结果是第一次出现在这里。最后，我们将我们的方法应用于一个带有$ N = 2 $状态的马尔可夫链的案例研究中；我们提供了透彻的分析，并通过对最优债务比率管理政策相对于问题参数的敏感性进行的详细数值研究，对我们的理论结果进行了补充。这些边界是通过零和最优停止博弈给出的，该博弈具有$ N $状态的状态切换，并通过带有约束的非线性代数方程组来表征。据我们所知，这种结果是第一次出现在这里。最后，我们将我们的方法应用于一个带有$ N = 2 $状态的马尔可夫链的案例研究中；我们提供了透彻的分析，并通过对最优债务比率管理政策相对于问题参数的敏感性进行的详细数值研究，对我们的理论结果进行了补充。这些边界是通过零和最优停止博弈给出的，该博弈具有$ N $状态的状态切换，并通过带有约束的非线性代数方程组来表征。据我们所知，这种结果是第一次出现在这里。最后，我们将我们的方法应用于一个带有$ N = 2 $状态的马尔可夫链的案例研究中；我们提供了透彻的分析，并通过对最优债务比率管理政策相对于问题参数的敏感性进行的详细数值研究，对我们的理论结果进行了补充。我们在一个具有$ N = 2 $个状态的马尔可夫链的案例研究中实践了我们的方法；我们提供了透彻的分析，并通过对最优债务比率管理政策相对于问题参数的敏感性进行的详细数值研究，对我们的理论结果进行了补充。我们在一个以$ N = 2 $状态的马尔可夫链为例的案例研究中实践了我们的方法；我们提供了透彻的分析，并通过对最优债务比率管理政策相对于问题参数的敏感性进行的详细数值研究，对我们的理论结果进行了补充。