SIAM Journal on Control and Optimization, Volume 58, Issue 3, Page 1579-1596, January 2020.
We study the controlled dynamics of the ensembles of points of a Riemannian manifold $M$. Parameterized ensemble of points of $M$ is the image of a continuous map $\gamma:\Theta \to M$, where $\Theta$ is a compact set of parameters. The dynamics of ensembles is defined by the action $\gamma(\theta) \mapsto P_t(\gamma(\theta))$ of the semigroup of diffeomorphisms $P_t:M \to M, \ t \in \mathbb{R}$, generated by the controlled equation $\dot{x}=f(x,u(t))$ on $M$. Therefore, any control system on $M$ defines a control system on (generally infinite-dimensional) space $\mathcal{E}_\Theta(M)$ of the ensembles of points. We wish to establish criteria of controllability for such control systems. As in our previous work [A. Agrachev, Y. Baryshnikov, and A. Sarychev, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 22 (2016), pp. 921--938], we seek to adapt the Lie-algebraic approach of geometric control theory to the infinite-dimensional setting. We study the case of finite ensembles and prove the genericity of the exact controllability property for them. We also find a sufficient approximate controllability criterion for continual ensembles and prove a result on motion planning in the space of flows on $M$. We discuss the relation of the obtained controllability criteria to various versions of the Rashevsky--Chow theorem for finite- and infinite-dimensional manifolds.

中文翻译：

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点集合空间中的控制

SIAM控制与优化杂志，第58卷，第3期，第1579-1596页，2020年1月。
我们研究了黎曼流形$ M $的点集合的受控动力学。$ M $点的参数化集合是连续映射$ \ gamma：\ Theta \到M $的图像，其中$ \ Theta $是一组紧凑的参数。合奏的动力学是由半同构半群$ P_t：M \ to M，\ t \ in \ mathbb {R}中的动作$ \ gamma（\ theta）\ mapsto P_t（\ gamma（\ theta））$定义的$，由$ M $上的受控方程$ \ dot {x} = f（x，u（t））$生成。因此，$ M $上的任何控制系统都定义了点集合的（通常是无穷大）空间$ \ mathcal {E} _ \ Theta（M）$上的控制系统。我们希望建立此类控制系统的可控性标准。和我们以前的工作一样[A. Agrachev，Y.Baryshnikov和A.Sarychev，ESAIM控制优化。计算 Var。22（2016），pp。921--938]，我们试图使几何控制理论的李代数方法适应无穷维设置。我们研究了有限集合的情况，并证明了它们的精确可控制性的一般性。我们还为连续合奏找到了足够的近似可控性准则，并证明了在$ M $流空间中的运动规划结果。我们讨论了获得的可控制性准则与有限维和无限维流形的各种版本的Rashevsky-Chow定理的关系。我们还为连续合奏找到了足够的近似可控性准则，并证明了在$ M $流空间中的运动规划结果。我们讨论了获得的可控制性准则与有限维和无限维流形的各种版本的Rashevsky-Chow定理的关系。我们还为连续合奏找到了足够的近似可控性准则，并证明了在$ M $流空间中的运动规划结果。我们讨论了获得的可控制性准则与有限维和无限维流形的各种版本的Rashevsky-Chow定理的关系。