Multiscale Modeling &Simulation, Volume 18, Issue 1, Page 475-501, January 2020.
The Boltzmann equation, as a model equation in statistical mechanics, is used to describe the statistical behavior of a large number of particles driven by the same physics laws. Depending on the media and the particles to be modeled, the equation has slightly different forms. In this article, we investigate a model Boltzmann equation with highly oscillatory media in the small Knudsen number regime and study the numerical behavior of the generalized multiscale finite element method (GMsFEM) in the fluid regime when high oscillation in the media presents. The GMsFEM is a general approach [E. Chung, Y. Efendiev, and T. Y. Hou, J. Comput. Phys., 320 (2016), pp. 69--95] to numerically treat equations with multiscale structures. The method is divided into the offline and online steps. In the offline step, basis functions are prepared from a snapshot space via a well-designed generalized eigenvalue problem (GEP), and these basis functions are then utilized to patch up for a solution through DG formulation in the online step to incorporate specific boundary and source information. We prove the well-posedness of the method on the Boltzmann equation and show that the GEP formulation provides a set of optimal basis functions that achieve spectral convergence. Such convergence is independent of the oscillation in the media, or the smallness of the Knudsen number, making it one of the few methods that simultaneously achieve numerical homogenization and asymptotic preserving properties across all scales of oscillations and the Knudsen number.

中文翻译：

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稳态线性玻尔兹曼方程的广义多尺度有限元方法

2020年1月，《多尺度建模与仿真》，第18卷，第1期，第475-501页。
玻尔兹曼方程作为统计力学中的模型方程，用于描述由相同物理定律驱动的大量粒子的统计行为。根据要建模的介质和粒子，方程式的形式略有不同。在本文中，我们研究了在小Knudsen数态下具有高振荡介质的模型Boltzmann方程，并研究了当介质中出现高振荡时流体状态下的广义多尺度有限元方法（GMsFEM）的数值行为。GMsFEM是一种通用方法[E. Chung，Y. Efendiev和TY Hou，J.Comput。Phys。，320（2016），pp。69--95]对具有多尺度结构的方程进行数值处理。该方法分为离线步骤和在线步骤。在离线步骤中，基本功能是通过精心设计的广义特征值问题（GEP）从快照空间准备的，然后将这些基本功能用于通过DG公式在在线步骤中修补解决方案，以合并特定的边界和源信息。我们证明了该方法在玻尔兹曼方程上的适定性，并表明GEP公式提供了一组实现光谱收敛的最佳基函数。这种收敛与介质的振荡或Knudsen数的小无关，这使其成为同时在所有规模的振荡和Knudsen数上同时实现数值均化和渐近保持性质的少数方法之一。然后将这些基本功能用于在线步骤中通过DG公式来修补解决方案，以合并特定的边界和源信息。我们证明了该方法在玻尔兹曼方程上的适定性，并表明GEP公式提供了一组实现光谱收敛的最佳基函数。这种收敛与介质的振荡或Knudsen数的小无关，这使其成为同时在所有规模的振荡和Knudsen数上同时实现数值均化和渐近保持性质的少数方法之一。然后将这些基本功能用于在线步骤中通过DG公式来修补解决方案，以合并特定的边界和源信息。我们证明了该方法在玻尔兹曼方程上的适定性，并表明GEP公式提供了一组实现光谱收敛的最佳基函数。这种收敛与介质的振荡或Knudsen数的小无关，这使其成为同时在所有规模的振荡和Knudsen数上同时实现数值均化和渐近保持性质的少数方法之一。我们证明了该方法在玻尔兹曼方程上的适定性，并表明GEP公式提供了一组实现光谱收敛的最佳基函数。这种收敛与介质的振荡或Knudsen数的小无关，这使其成为同时在所有规模的振荡和Knudsen数上同时实现数值均化和渐近保持性质的少数方法之一。我们证明了该方法在玻尔兹曼方程上的适定性，并表明GEP公式提供了一组实现光谱收敛的最佳基函数。这种收敛与介质的振荡或Knudsen数的小无关，这使其成为同时在所有规模的振荡和Knudsen数上同时实现数值均化和渐近保持性质的少数方法之一。