We present various properties of the Erlang loss function $$B(x,a)=\Bigl( a \int_0^\infty e^{-at} (1+t)^x \,dt \Bigr) ^{-1} \quad{(x\geq 0,\ a>0)}.$$ B ( x , a ) = ( a ∫ 0 ∞ e - a t ( 1 + t ) x d t ) - 1 ( x ≥ 0 , a > 0 ) . Among other results, we prove: (1) The function $$x\mapsto B(x,a)^{\lambda}$$ x ↦ B ( x , a ) λ is convex on $$[0,\infty)$$ [ 0 , ∞ ) for every $$a>0$$ a > 0 if and only if $$\lambda\leq 0$$ λ ≤ 0 or $$\lambda \geq 1$$ λ ≥ 1 . (2) The function $$x\mapsto ({1-B(1/x,a)})^{-1} $$ x ↦ ( 1 - B ( 1 / x , a ) ) - 1 is strictly convex on $$(0,\infty)$$ ( 0 , ∞ ) . This leads to the functional inequality $$\frac{2}{1-B( H(x,y) ,a)}< \frac{1}{1-B(x,a)} +\frac{1}{1-B(y,a)}\quad{(x,y>0,\ x\neq y)}, $$ 2 1 - B ( H ( x , y ) , a ) < 1 1 - B ( x , a ) + 1 1 - B ( y , a ) ( x , y > 0 , x ≠ y ) , where $$H(x,y)=2xy/(x+y)$$ H ( x , y ) = 2 x y / ( x + y ) denotes the harmonic mean of x and y . (3) Let $$a>0$$ a > 0 . The inequality $$B(x,a) + B(1/x,a)\leq 1$$ B ( x , a ) + B ( 1 / x , a ) ≤ 1 holds for all $$x>0$$ x > 0 if and only if $$a\leq 1$$ a ≤ 1 .

中文翻译：

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关于 Erlang 损失函数

我们展示了 Erlang 损失函数的各种属性 $$B(x,a)=\Bigl( a \int_0^\infty e^{-at} (1+t)^x \,dt \Bigr) ^{-1 } \quad{(x\geq 0,\ a>0)}.$$ B ( x , a ) = ( a ∫ 0 ∞ e - at ( 1 + t ) xdt ) - 1 ( x ≥ 0 , a > 0)。在其他结果中，我们证明： (1) 函数 $$x\mapsto B(x,a)^{\lambda}$$ x ↦ B ( x , a ) λ 在 $$[0,\infty) 上是凸的$$ [ 0 , ∞ ) 对于每个 $$a>0$$ a > 0 当且仅当 $$\lambda\leq 0$$ λ ≤ 0 或 $$\lambda \geq 1$$ λ ≥ 1 。(2) 函数 $$x\mapsto ({1-B(1/x,a)})^{-1} $$ x ↦ ( 1 - B ( 1 / x , a ) ) - 1 是严格凸的在 $$(0,\infty)$$ ( 0 , ∞ ) 上。这导致函数不等式 $$\frac{2}{1-B( H(x,y) ,a)}< \frac{1}{1-B(x,a)} +\frac{1} {1-B(y,a)}\quad{(x,y>0,\ x\neq y)}, $$ 2 1 - B ( H ( x , y ) , a ) < 1 1 - B ( x , a ) + 1 1 - B ( y , a ) ( x , y > 0 , x ≠ y ) ，其中 $$H(x, y)=2xy/(x+y)$$ H ( x , y ) = 2 xy / ( x + y ) 表示 x 和 y 的调和平均值。(3) 让 $$a>0$$ a > 0 。不等式 $$B(x,a) + B(1/x,a)\leq 1$$ B ( x , a ) + B ( 1 / x , a ) ≤ 1 对所有 $$x>0$ 成立$ x > 0 当且仅当 $$a\leq 1$$ a ≤ 1 。