We revisit the popular random matching market model introduced by Knuth (1976) and Pittel (1989), and shown by Ashlagi, Kanoria and Leshno (2013) to exhibit a "stark effect of competition", i.e., with any difference in the number of agents on the two sides, the short side agents obtain substantially better outcomes. We generalize the model to allow "partially connected" markets with each agent having an average degree $d$ in a random (undirected) graph. Each agent has a (uniformly random) preference ranking over only their neighbors in the graph. We characterize stable matchings in large markets and find that the short side enjoys a significant advantage only for $d$ exceeding $\log^2 n$ where $n$ is the number of agents on one side: For moderately connected markets with $d=o(\log^2 n)$, we find that there is no stark effect of competition, with agents on both sides getting a $\sqrt{d}$-ranked partner on average. Notably, this regime extends far beyond the connectivity threshold of $d= \Theta(\log n)$. In contrast, for densely connected markets with $d = \omega(\log^2 n)$, we find that the short side agents get $\log n$-ranked partner on average, while the long side agents get a partner of (much larger) rank $d/\log n$ on average. Numerical simulations of our model confirm and sharpen our theoretical predictions. Since preference list lengths in most real-world matching markets are much below $\log^2 n$, our findings may help explain why available datasets do not exhibit a strong effect of competition.

中文翻译：

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哪些随机匹配市场表现出明显的竞争效应？

我们重新审视了由 Knuth (1976) 和 Pittel (1989) 引入并由 Ashlagi、Kanoria 和 Leshno (2013) 展示的流行的随机匹配市场模型，以展示“明显的竞争效应”，即在数量上有任何差异两侧代理，短边代理获得明显更好的结果。我们将模型概括为允许“部分连接”市场，每个代理在随机（无向）图中的平均度数为 $d$。每个代理都有一个（均匀随机的）偏好排名，只对图中的邻居进行排序。我们表征了大型市场中的稳定匹配，发现空头仅在 $d$ 超过 $\log^2 n$ 时才具有显着优势，其中 $n$ 是一侧的代理数量：对于具有 $d 的中等连接市场=o(\log^2 n)$, 我们发现没有明显的竞争效应，双方的代理平均得到一个 $\sqrt{d}$ 排名的合作伙伴。值得注意的是，该机制远远超出了 $d=\Theta(\log n)$ 的连接阈值。相比之下，对于 $d = \omega(\log^2 n)$ 的密集连接市场，我们发现空方代理平均获得 $\log n$ 排名的合作伙伴，而多方代理获得的合作伙伴为（大得多）平均排名 $d/\log n$。我们模型的数值模拟证实并加强了我们的理论预测。由于大多数现实世界匹配市场中的偏好列表长度远低于 $\log^2 n$，我们的研究结果可能有助于解释为什么可用数据集没有表现出强烈的竞争影响。该机制远远超出了 $d= \Theta(\log n)$ 的连接阈值。相比之下，对于 $d = \omega(\log^2 n)$ 的密集连接市场，我们发现空方代理平均获得 $\log n$ 排名的合作伙伴，而多方代理获得的合作伙伴为（大得多）平均排名 $d/\log n$。我们模型的数值模拟证实并加强了我们的理论预测。由于大多数现实世界匹配市场中的偏好列表长度远低于 $\log^2 n$，我们的研究结果可能有助于解释为什么可用数据集没有表现出强烈的竞争影响。该机制远远超出了 $d= \Theta(\log n)$ 的连接阈值。相比之下，对于 $d = \omega(\log^2 n)$ 的密集连接市场，我们发现空方代理平均获得 $\log n$ 排名的合作伙伴，而多方代理获得的合作伙伴为（大得多）平均排名 $d/\log n$。我们模型的数值模拟证实并加强了我们的理论预测。由于大多数现实世界匹配市场中的偏好列表长度远低于 $\log^2 n$，我们的研究结果可能有助于解释为什么可用数据集没有表现出强烈的竞争影响。而多头代理平均会得到一个（大得多）等级 $d/\log n$ 的合作伙伴。我们模型的数值模拟证实并加强了我们的理论预测。由于大多数现实世界匹配市场中的偏好列表长度远低于 $\log^2 n$，我们的研究结果可能有助于解释为什么可用数据集没有表现出强烈的竞争影响。而多头代理平均会得到一个（大得多）等级 $d/\log n$ 的合作伙伴。我们模型的数值模拟证实并加强了我们的理论预测。由于大多数现实世界匹配市场中的偏好列表长度远低于 $\log^2 n$，我们的研究结果可能有助于解释为什么可用数据集没有表现出强烈的竞争影响。