We consider the convolution of right half-plane harmonic mappings in the unit disk $$\mathbb {D}:=\{z\in \mathbb {C}:\, |z|<1\}$$ D : = { z ∈ C : | z | < 1 } with respective dilatations $$ e^{i \alpha }(z + a)/(1 + a z)$$ e i α ( z + a ) / ( 1 + a z ) and $$-z$$ - z , where $$-1< a < 1$$ - 1 < a < 1 and $$\alpha \in \mathbb {R}$$ α ∈ R . We prove that such convolutions are locally univalent and convex in the horizontal direction under certain condition.

中文翻译：

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一价谐波右半平面映射的卷积性质

我们考虑单元盘中右半平面谐波映射的卷积 $$\mathbb {D}:=\{z\in \mathbb {C}:\, |z|<1\}$$ D : = { z ∈ C : | | | < 1 } 具有各自的膨胀 $$ e^{i \alpha }(z + a)/(1 + az)$$ ei α ( z + a ) / ( 1 + az ) 和 $$-z$$ - z ，其中 $$-1< a < 1$$ - 1 < a < 1 和 $$\alpha \in \mathbb {R}$$ α ∈ R 。我们证明了这种卷积在一定条件下在水平方向上是局部单价的和凸的。