Given a positive integer s, a graph G is s-Ramsey for a graph H, denoted $G\to {(H)}_s$, if every s-colouring of the edges of G contains a monochromatic copy of H. The s-colour size-Ramsey number ${\hat{r}}_s(H)$ of a graph H is defined to be ${\hat{r}}_s(H)=\min \{|E(G)|:G\to {(H)}_s\}$. We prove that, for all positive integers k and s, we have ${\hat{r}}_s(P_n^k)=O(n)$, where $P_n^k$ is the kth power of the n-vertex path $P_n$.

中文翻译：

---

路径幂的多色大小-拉姆西数

给定正整数s，对于图H，图G是s-Ramsey，表示为$G\to {（H）}_s$，如果G边缘的每个s色都包含H的单色副本。在S-颜色大小Ramsey数 ${\widehat{\mathrm{[R}}}_s（H）$图H的定义为${\widehat{\mathrm{[R}}}_s（H）=\mathrm{分}\{|Ë（G）|：G\to {（H）}_s\}$。我们证明，对于所有正整数k和s，我们都有${\widehat{\mathrm{[R}}}_s（P_{ñ}^{ķ}）=Ø（ñ）$，在哪里 $P_{ñ}^{ķ}$是n-顶点路径的k次方$P_{ñ}$。